자연계열 1번

동국대 2024학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2024su/jayeon_1

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 두 초점 $\displaystyle \mathrm F(c,0),\mathrm F^{\prime}(-c,0)$ 으로부터의 거리의 합이 $\displaystyle 2a$ 인 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \text{(단, }a>c>0,\ b^2=a^2-c^2\text{)}$ 이다. 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 을 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle m$ 만큼, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle n$ 만큼 평행이동하면 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ 이다. 이때 타원의 초점, 꼭짓점은 각각 다음과 같다.

타원의 방정식 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $n$ 만큼 평행이동 ⇒	타원의 방정식 $\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$
$(c,0),(-c,0)$	초점의 좌표	$(c+m,n),(-c+m,n)$
$(a,0),(-a,0),$ $(0,b),(0,-b)$	꼭짓점의 좌표	$(a+m,n),(-a+m,n),$ $(m,b+n),(m,-b+n)$

-『고등학교 기하』

[나] 초점이 $\displaystyle \mathrm F(p,0)$ 이고 준선이 $\displaystyle x=-p$ 인 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 를 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle m$ 만큼, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle n$ 만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle (y-n)^2=4p(x-m)$ 이때 포물선의 초점의 좌표는 $\displaystyle (p+m,n)$ , 준선의 방정식은 $\displaystyle x=-p+m$ 이다.-『고등학교 기하』

[다] 두 초점 $\displaystyle \mathrm F(c,0),\mathrm F^{\prime}(-c,0)$ 으로부터의 거리의 차가 $\displaystyle 2a$ 인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (단, $\displaystyle c>a>0,b^2=c^2-a^2$ )이다. 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 을 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle m$ 만큼, $\displaystyle y$ 축의 방향으로 $\displaystyle n$ 만큼 평행이동하면 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ 이다. 이때 중심, 꼭짓점, 초점, 점근선은 각각 다음과 같다.

쌍곡선의 방정식 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $n$ 만큼 평행이동 ⇒	쌍곡선의 방정식 $\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$
$(0,0)$	중심의 좌표	$(m,n)$
$(a,0),(-a,0)$	꼭짓점의 좌표	$(a+m,n),(-a+m,n)$
$(c,0),(-c,0)$	초점의 좌표	$(c+m,n),(-c+m,n)$
$y=\pm\frac bax$	점근선의 방정식	$y-n=\pm\frac ba(x-m)$

-『고등학교 기하』

[문제1] 다음 방정식에 대하여 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle k$ 는 실수이다.) $\displaystyle x^2+y^2=(kx+1)^2$

(1) $\displaystyle k=0$ 이면 주어진 방정식은 원의 방정식이다. 이 원의 중심과 반지름을 각각 구하시오.

(2) $\displaystyle k=\frac12$ 이면 주어진 방정식은 타원의 방정식이다. 이 타원의 초점의 좌표와 꼭짓점의 좌표를 각각 구하시오.

(3) $\displaystyle k=1$ 이면 주어진 방정식은 포물선의 방정식이다. 이 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하시오.

(4) $\displaystyle k=2$ 이면 주어진 방정식은 쌍곡선의 방정식이다. 이 쌍곡선의 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 각각 구하시오.

해설강의 준비중

논술 이심률

관련 개념강의 준비중

동국대 2024학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2024su/jayeon_1

1단계

(1) $\displaystyle k=0$ 이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 이므로 중심이 $\displaystyle (0,0)$ 이고, 반지름이 1인 원이다.

2단계

(2) $\displaystyle k=\frac12$ 이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=(\frac12x+1)^2$ 이므로 $\displaystyle \frac34x^2-x+y^2=1,\quad\frac34(x-\frac23)^2+y^2=\frac43,\quad\frac{(x-\frac23)^2}{\frac{16}9}+\frac{y^2}{\frac43}=1$ 이다. 따라서, $\displaystyle k=\frac12$ 이면 주어진 방정식은 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{\frac{16}9}+\frac{y^2}{\frac43}=1$ 을 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향으로 $\displaystyle \frac23$ 만큼 평행이동한 타원의 방정식이 된다. 제시문 [가]에서 $\displaystyle a=\frac43,b=\frac{2\sqrt3}3,c=\sqrt{a^2-b^2}=\frac23$ 이므로 초점의 좌표는 $\displaystyle (\frac43,0),(0,0)$ 이고, 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle (2,0),(-\frac23,0),(\frac23,\frac{2\sqrt3}3),(\frac23,-\frac{2\sqrt3}3)$ 이 된다.

3단계

(3) $\displaystyle k=1$ 이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=(x+1)^2$ 이므로 $\displaystyle y^2=2x+1=2(x+\frac12)$ 이다. 따라서, $\displaystyle k=1$ 이면 주어진 방정식은 포물선 $\displaystyle y^2=2x$ 을 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle -\frac12$ 만큼 평행이동한 포물선이 된다. 제시문 [나]에서 $\displaystyle p=\frac12$ 가 되므로 초점의 좌표는 $\displaystyle (0,0)$ 이고 준선의 방정식은 $\displaystyle x=-1$ 이다.

4단계

(4) $\displaystyle k=2$ 이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=(2x+1)^2$ 이므로 $\displaystyle 3x^2+4x-y^2=-1,\quad3(x+\frac23)^2-y^2=\frac13,\quad\frac{(x+\frac23)^2}{\frac19}-\frac{y^2}{\frac13}=1$ 이다. 따라서, $\displaystyle k=2$ 이면 주어진 방정식은 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{\frac19}-\frac{y^2}{\frac13}=1$ 을 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle -\frac23$ 만큼 평행이동한 쌍곡선이 된다. 제시문 [다]에서 $\displaystyle a=\frac13,b=\frac{\sqrt3}3,c=\sqrt{a^2+b^2}=\frac23$ 이므로, 초점의 좌표는 $\displaystyle (0,0),(-\frac43,0)$ 이고 점근선의 방정식은 $\displaystyle y=\pm\sqrt3(x+\frac23)$ 이다.

	배점	채점 기준
상	S	[1단계]부터 [4단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우
상	A	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우
중	B	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우
중	C	[1단계]부터 [4단계]중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우
중	D	[1단계]부터 [4단계]중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우
하	E	[1단계]부터 [4단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우
하	F	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.