자연계열 1번

(1) $\displaystyle k=0$이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=1$이므로 중심이 $\displaystyle (0,0)$이고, 반지름이 1인 원이다.

(2) $\displaystyle k=\frac12$이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=(\frac12x+1)^2$이므로$\displaystyle \frac34x^2-x+y^2=1,\quad\frac34(x-\frac23)^2+y^2=\frac43,\quad\frac{(x-\frac23)^2}{\frac{16}9}+\frac{y^2}{\frac43}=1$이다. 따라서, $\displaystyle k=\frac12$이면 주어진 방정식은 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{\frac{16}9}+\frac{y^2}{\frac43}=1$을 $\displaystyle x$축의 양의 방향으로 $\displaystyle \frac23$만큼 평행이동한 타원의 방정식이 된다. 제시문 [가]에서 $\displaystyle a=\frac43,b=\frac{2\sqrt3}3,c=\sqrt{a^2-b^2}=\frac23$이므로 초점의 좌표는 $\displaystyle (\frac43,0),(0,0)$이고, 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle (2,0),(-\frac23,0),(\frac23,\frac{2\sqrt3}3),(\frac23,-\frac{2\sqrt3}3)$이 된다.

(3) $\displaystyle k=1$이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=(x+1)^2$이므로$\displaystyle y^2=2x+1=2(x+\frac12)$이다. 따라서, $\displaystyle k=1$이면 주어진 방정식은 포물선 $\displaystyle y^2=2x$을 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle -\frac12$만큼 평행이동한 포물선이 된다. 제시문 [나]에서 $\displaystyle p=\frac12$가 되므로 초점의 좌표는 $\displaystyle (0,0)$이고 준선의 방정식은 $\displaystyle x=-1$이다.

(4) $\displaystyle k=2$이면 주어진 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2=(2x+1)^2$이므로$\displaystyle 3x^2+4x-y^2=-1,\quad3(x+\frac23)^2-y^2=\frac13,\quad\frac{(x+\frac23)^2}{\frac19}-\frac{y^2}{\frac13}=1$이다. 따라서, $\displaystyle k=2$이면 주어진 방정식은 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{\frac19}-\frac{y^2}{\frac13}=1$을 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle -\frac23$만큼 평행이동한 쌍곡선이 된다. 제시문 [다]에서 $\displaystyle a=\frac13,b=\frac{\sqrt3}3,c=\sqrt{a^2+b^2}=\frac23$이므로, 초점의 좌표는 $\displaystyle (0,0),(-\frac43,0)$이고 점근선의 방정식은 $\displaystyle y=\pm\sqrt3(x+\frac23)$이다.