자연계열 2번

[문제 2-1] $\displaystyle \int_0^\pi\sin x\,dx=2$,$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi F(x)G(x)\,dx&=\int_0^\pi\cos(\cos x)\sin x\,dx\\&=\int_0^{\pi/2}\cos(\cos x)\sin x\,dx+\int_{\pi/2}^\pi\cos(\cos x)\sin x\,dx\\&=\int_0^1\cos t\,dt+\int_{-1}^0\cos t\,dt=2\int_0^1\cos t\,dt=2\sin1\end{aligned}$문제에서 주어진 조건에 따라 $\displaystyle \cos(\cos c)=\sin1$이다. 이제 $\displaystyle t=\cos c\ (-1\le t\le1)$라 하면 $\displaystyle \cos t=\sin1=\cos(\pi/2-1)$을 만족하는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle \pi/2-1$ 또는 $\displaystyle 1-\pi/2$임을 알 수 있다.

[문제 2-2] 1) $\displaystyle p(x)=(x-a)(x-b)$라 하면 $\displaystyle p(a)=p(b)=0$, $\displaystyle -p^{\prime}(a)=p^{\prime}(b)=b-a$, $\displaystyle p^{\prime\prime}(x)=2$가 성립한다. 부분적분 공식을 두 번 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}2\int_a^b f(x)\,dx&=\int_a^b f(x)p^{\prime\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)p^{\prime}(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)p^{\prime}(x)\,dx\\&=f(b)p^{\prime}(b)-f(a)p^{\prime}(a)-\int_a^b f^{\prime}(x)p^{\prime}(x)\,dx\\&=[f(a)+f(b)](b-a)-\Biggl[f^{\prime}(x)p(x)\Biggr]_a^b+\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx\\&=[f(a)+f(b)](b-a)-f^{\prime}(b)p(b)+f^{\prime}(a)p(a)+\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx\\&=[f(a)+f(b)](b-a)+\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]+\frac12\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx$이다.2) 제시문 (가)의 정리 1에 의하여 적당한 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 존재하여$\displaystyle \int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx=f^{\prime\prime}(c)\int_a^b p(x)\,dx=-f^{\prime\prime}(c)\frac{(b-a)^3}6$을 만족한다. 이로부터 정리 2가 성립함을 알 수 있다.

[문제 2-3] 정확도가 0 이상이기 위해서는 $\displaystyle \frac n{n+1}+(1-t)+\frac n{n+1}=2$, 즉 $\displaystyle t=\frac{n-1}{n+1}$이다. 정확도가 1 이상이기 위해서는 $\displaystyle \frac n{n+1}(-\alpha)+\frac n{n+1}\beta=0$이어야 하므로 $\displaystyle \alpha=\beta$이다. 정확도가 2 이상이기 위해서는 $\displaystyle 2\frac n{n+1}\alpha^2=2/3$ 즉 $\displaystyle \alpha^2=\beta^2=\frac{n+1}{3n}$. 즉, $\displaystyle \alpha_n=\beta_n=\sqrt{\frac{n+1}{3n}}$, $\displaystyle t_n=\frac{n-1}{n+1}$이다. 이렇게 선택하면 기함수의 성질에 인하여 정확도는 3 이상이 된다. 주어진 수치적 구적법이 $\displaystyle x^4$에 대해서는 정확할 수 없으므로 $\displaystyle r_n=3$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_n\beta_n t_n r_n=1$이다.