아주대 2015학년도 모의 자연계열 2번 해설

다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 정적분에 관한 가중 평균값의 정리

정리 1. 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 두 함수 $\displaystyle F,G$ 를 생각하자. 그리고 $\displaystyle G$ 는 구간 전체에서 부호가 바뀌지 않는다고 가정하자. 그러면, 다음 식을 만족하는 점 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 안에 존재한다. $\displaystyle \int_a^b F(x)G(x)\,dx=F(c)\int_a^b G(x)\,dx$ 정리 1은 연속함수의 대표적인 성질인 중간값의 정리를 이용하여 증명할 수 있으며, 정적분에 관한 평균값의 정리는 정리 1에서 $\displaystyle G$ 가 상수함수 1인 특수한 경우이다.

예제 1. 정리 1에서 $\displaystyle a=0,b=\pi,F(x)=x,G(x)=\sin x$ 인 경우를 생각해보자. $\displaystyle \int_0^\pi x\sin x\,dx=\pi$ , $\displaystyle \int_0^\pi\sin x\,dx=2$ 이므로 $\displaystyle c=\frac\pi2$ 로 택하면 위의 등식이 성립한다.

(나) 수치적 구적법

정적분을 계산할 때 원시 함수를 구체적으로 구하기 어려워 정확한 값을 얻을 수 없는 경우가 흔히 발생한다. 정적분 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ 의 값을 근사하는데 자주 사용하는 방법으로 수치적 구적법(numerical quadrature)을 들 수 있으며, 이는 적당한 점 $\displaystyle x_1,\cdots,x_n$ 과 적당한 수 $\displaystyle a_1,\cdots,a_n$ 을 이용하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k f(x_k)$ 형태로 나타낸다.

예제 2. 중점 규칙 (Midpoint rule)가장 간단한 수치적 구적법으로 중점 규칙을 들 수 있다. $\displaystyle M(f)=(b-a)f(\frac{a+b}2)$

예제 3. 사다리꼴 규칙 (Trapezoid rule)정적분의 값을 구간의 양 끝점에서의 함수값으로 근사하는 가장 간단한 방법은 그림 1에 나타난 것과 같은 사다리꼴 규칙이다. $\displaystyle T(f)=\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]$ 사다리꼴 규칙은 다음 정리와 밀접한 관계가 있다.

정리 2. 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 정의된 두 번 미분 가능한 함수 $\displaystyle f$ 를 생각하자. 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime\prime}$ 이 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면, $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]-\frac{(b-a)^3}{12}f^{\prime\prime}(c)$ 을 만족하는 점 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에 존재한다.

(다) 정확도 주어진 구적법의 정확도(degree of accuracy)는 0 이상 $\displaystyle n$ 이하의 모든 $\displaystyle k$ 에 대하여 함수 $\displaystyle x^k$ 의 구적법에 의한 근삿값과 적분값이 같아지는 $\displaystyle n$ 중 가장 큰 값을 의미한다.

예제 4. $\displaystyle a=0,b=1$ 이라 하고 예제 2에서와 같이 중점 규칙으로 정적분을 근사하는 경우를 생각해보자. 우선, $\displaystyle \int_0^1 1\,dx=1=M(1)$ , $\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac12=M(x)$ 이다. 하지만 $\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\frac13\ne(\frac12)^2=M(x^2)$ 이므로 중점 규칙은 정확도 1을 가짐을 알 수 있다.

예제 5. $\displaystyle a=0,b=1$ 이라 하고 예제 3에서와 같이 사다리꼴 규칙으로 정적분을 근사하는 경우, $\displaystyle \int_0^1 1\,dx=1=\frac12[1+1]=T(1)$ , $\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac12=\frac12[0+1]=T(x)$ 이 성립한다. 하지만 $\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\frac13\ne\frac12[0+1]=T(x^2)$ 이므로 사다리꼴 법칙은 정확도 1을 가짐을 알 수 있다. 한편 정리 2를 이용하여 사다리꼴 규칙의 정확도가 1임을 확인할 수도 있다. 1차 이하의 다항 함수의 이계도함수가 0이므로 정확도는 1 이상이고, 2차 다항식의 이계도함수는 0이 아닌 상수이므로 오차가 0일 수 없어 정확도는 1이하가 되기 때문이다.

[문제 2-1] <15점> 제시문 (가)의 정리 1을 $\displaystyle a=0,b=\pi,F(x)=\cos(\cos x),G(x)=\sin x$ 에 적용할 때 $\displaystyle \cos c$ 의 값은 얼마인가?

[문제 2-2] <20점> 사다리꼴 규칙에 대한 다음 물음에 답하라.1) <10점> $\displaystyle p(a)=p(b)=0$ , $\displaystyle -p^{\prime}(a)=p^{\prime}(b)=b-a$ 를 만족하는 최고차항의 계수가 1인 이차 다항식 $\displaystyle p(x)$ 를 구하고, 부분적분 공식을 적절히 적용하여 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ 를 $\displaystyle T(f)$ 와 $\displaystyle \int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx$ 를 이용하여 나타내라.2) <10점> 정리 2를 증명하라.

[문제 2-3] <15점> 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\,dx$ 를 근사하는 다음과 같은 수치적 구적법을 생각하자. $\displaystyle \frac n{n+1}f(-\alpha)+(1-t)\cdot f(0)+\frac n{n+1}f(\beta)$ 이 구적법이 가장 높은 정확도를 갖도록 하는 음이 아닌 실수 $\displaystyle \alpha,\beta,t$ 를 각각 $\displaystyle \alpha_n,\beta_n,t_n$ 이라 하고, 이때의 정확도를 $\displaystyle r_n$ 이라 할 때 아래 극한 값을 구하라. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_n\beta_n t_n r_n$

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[문제 2-1] $\displaystyle \int_0^\pi\sin x\,dx=2$ , $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi F(x)G(x)\,dx&=\int_0^\pi\cos(\cos x)\sin x\,dx\\&=\int_0^{\pi/2}\cos(\cos x)\sin x\,dx+\int_{\pi/2}^\pi\cos(\cos x)\sin x\,dx\\&=\int_0^1\cos t\,dt+\int_{-1}^0\cos t\,dt=2\int_0^1\cos t\,dt=2\sin1\end{aligned}$ 문제에서 주어진 조건에 따라 $\displaystyle \cos(\cos c)=\sin1$ 이다. 이제 $\displaystyle t=\cos c\ (-1\le t\le1)$ 라 하면 $\displaystyle \cos t=\sin1=\cos(\pi/2-1)$ 을 만족하는 $\displaystyle t$ 의 값은 $\displaystyle \pi/2-1$ 또는 $\displaystyle 1-\pi/2$ 임을 알 수 있다.

[문제 2-2] 1) $\displaystyle p(x)=(x-a)(x-b)$ 라 하면 $\displaystyle p(a)=p(b)=0$ , $\displaystyle -p^{\prime}(a)=p^{\prime}(b)=b-a$ , $\displaystyle p^{\prime\prime}(x)=2$ 가 성립한다. 부분적분 공식을 두 번 이용하면 $\displaystyle \begin{aligned}2\int_a^b f(x)\,dx&=\int_a^b f(x)p^{\prime\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)p^{\prime}(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)p^{\prime}(x)\,dx\\&=f(b)p^{\prime}(b)-f(a)p^{\prime}(a)-\int_a^b f^{\prime}(x)p^{\prime}(x)\,dx\\&=[f(a)+f(b)](b-a)-\Biggl[f^{\prime}(x)p(x)\Biggr]_a^b+\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx\\&=[f(a)+f(b)](b-a)-f^{\prime}(b)p(b)+f^{\prime}(a)p(a)+\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx\\&=[f(a)+f(b)](b-a)+\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\frac{b-a}2[f(a)+f(b)]+\frac12\int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx$ 이다.2) 제시문 (가)의 정리 1에 의하여 적당한 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에 존재하여 $\displaystyle \int_a^b f^{\prime\prime}(x)p(x)\,dx=f^{\prime\prime}(c)\int_a^b p(x)\,dx=-f^{\prime\prime}(c)\frac{(b-a)^3}6$ 을 만족한다. 이로부터 정리 2가 성립함을 알 수 있다.

[문제 2-3] 정확도가 0 이상이기 위해서는 $\displaystyle \frac n{n+1}+(1-t)+\frac n{n+1}=2$ , 즉 $\displaystyle t=\frac{n-1}{n+1}$ 이다. 정확도가 1 이상이기 위해서는 $\displaystyle \frac n{n+1}(-\alpha)+\frac n{n+1}\beta=0$ 이어야 하므로 $\displaystyle \alpha=\beta$ 이다. 정확도가 2 이상이기 위해서는 $\displaystyle 2\frac n{n+1}\alpha^2=2/3$ 즉 $\displaystyle \alpha^2=\beta^2=\frac{n+1}{3n}$ . 즉, $\displaystyle \alpha_n=\beta_n=\sqrt{\frac{n+1}{3n}}$ , $\displaystyle t_n=\frac{n-1}{n+1}$ 이다. 이렇게 선택하면 기함수의 성질에 인하여 정확도는 3 이상이 된다. 주어진 수치적 구적법이 $\displaystyle x^4$ 에 대해서는 정확할 수 없으므로 $\displaystyle r_n=3$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\alpha_n\beta_n t_n r_n=1$ 이다.

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