자연계열 1번

[문제 1-1](1) 영역 $\displaystyle A$는 직선 PN에 의해 두 부분으로 나뉘고, 각 영역의 넓이를 정적분으로 나타내어 보면,$\displaystyle \int_0^a(x^2-x^3)\,dx=\frac{a^3}3-\frac{a^4}4$,$\displaystyle \int_a^{\sqrt a}(ax-x^3)\,dx=\frac a2(a-a^2)-\frac{a^2}4+\frac{a^4}4=\frac{a^2}4-\frac{a^3}2+\frac{a^4}4$이다. 이로부터 $\displaystyle S(a)=\int_0^a(x^2-x^3)\,dx+\int_a^{\sqrt a}(ax-x^3)\,dx=\frac{a^2}4-\frac{a^3}6$이고,

$\displaystyle S_1(a)=\int_a^{\sqrt a}(ax-x^3)\,dx=\frac{a^2}4-\frac{a^3}2+\frac{a^4}4$이다.

따라서, $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{S(a)}{S_1(a)}=\lim_{a\to0^+}\frac{\frac{a^2}4-\frac{a^3}6}{\frac{a^2}4-\frac{a^3}2+\frac{a^4}4}=\lim_{a\to0^+}\frac{\frac14-\frac a6}{\frac14-\frac a2+\frac{a^2}4}=1$이다.

(2) 풀이 (1)에서 구한 도형 $\displaystyle A$의 넓이는 $\displaystyle S(a)=\int_0^a(x^2-x^3)\,dx+\int_a^{\sqrt a}(ax-x^3)\,dx=\frac{a^2}4-\frac{a^3}6$이다.그러므로 $\displaystyle S(a)=\frac{a^2}4-\frac{a^3}6=\frac1{24}$을 풀면

$\displaystyle a=\frac12$이다.

[문제 1-2](1) $\displaystyle \ell_1$의 방정식은 $\displaystyle ax+a^2y=a^2+a^4$이며 그 기울기는 $\displaystyle -\frac1a$이고 $\displaystyle \ell_2$의 방정식은 $\displaystyle y-a^2=2a(x-a)$이며 그 기울기는 $\displaystyle 2a$이다.

직선 $\displaystyle \ell_1$, $\displaystyle \ell_2$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 하면 두 직선이 이루는 각은 $\displaystyle (\alpha-\beta)$이고 삼각함수의 덧셈정리와 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{-\frac1a-2a}{1+\left(-\frac1a\right)\cdot2a}=\frac1a+2a\ge2\sqrt2$

등호는 $\displaystyle \frac1a=2a$일 때, 즉 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt2}$일 때 성립하므로, 두 접선은 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt2}$일 때 각의 크기가 최소이다.

(2) 제시문으로부터 $\displaystyle C:x^2+y^2=(a^2+a^4)$이다. 한편,$\displaystyle (a+a^2)^2+\left((a+a^2)^3\right)^2>(a+a^2)^2\ge a^2+a^4$

이므로 점 $\displaystyle \left(a+a^2,(a+a^2)^3\right)$은 원 $\displaystyle C$의 외부에 있음을 알 수 있다.

(3) 풀이 (2)에 의하여 다음 부등식이 성립한다.$\displaystyle \int_0^a(x^2-x^3)\,dx\le T(a)\le\int_0^{a+a^2}(x^2-x^3)\,dx$Comment. 이 부등식은 $\displaystyle a$가 충분히 작을 때 적용한다. $\displaystyle a\to0^+$인 극한을 구하는 데에는 영향이 없다.즉, 아래 부등식이 성립한다.$\displaystyle \frac13a^3-\frac14a^4\le T(a)\le\frac13a^3+\frac34a^4-\frac76a^6-a^7-\frac14a^8$

양변을 $\displaystyle a^3$으로 나누고 함수의 극한의 대소관계를 이용하면, 다음이 성립한다.$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{T(a)}{a^3}=\frac13$

3이 아닌 자연수 $\displaystyle m$에 대해서는 극한값이 존재하지 않거나 0이 된다. 따라서 $\displaystyle m=3$이고 극한값은 $\displaystyle \frac13$이다.