자연계열 3번

[가] 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x$에 관해 미분한 결과를 $\displaystyle f(x)$의 일계도함수라 하고, $\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)$ 또는 간단히 $\displaystyle f^{\prime}(x)$로 표현된다. 일계도함수는$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$로 정의되며, $\displaystyle f(x)$의 접선의 기울기, 순간 증가율 등으로 해석될 수 있다. 예를 들면, $\displaystyle x$시간 동안 자동차의 이동거리가 $\displaystyle 3x^4 -40x^3 + 150 x^2$으로 계산이 가능한 경우, 이 이동 거리 계산식의 일계도함수는 자동차의 순간 속도의 계산식으로 볼 수 있다. 즉,$\displaystyle \begin{aligned}&\frac{d}{dx}\left(3x^4-40x^3+150x^2\right)\\&=\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)^4-40(x+h)^3+150(x+h)^2-3x^4+40x^3-150x^2}{h}\\&=12x^3-120x^2+300x\\&=12x(x-5)^2\end{aligned}$으로 $\displaystyle x$시간에서의 자동차 순간 속도를 계산해 낼 수 있다.

[나] 미분의 연쇄 법칙(Chain rule)은 복잡한 함수들의 미분에 있어 유용하게 사용되고 있다. 즉, $\displaystyle f(g(x))$의 일계도함수를 미분의 정의에 의해 ($\displaystyle y \ne x$)$\displaystyle \begin{aligned}\frac{d}{dx}f(g(x))&=\lim_{y\to x}\frac{f(g(y))-f(g(x))}{y-x}\\&=\lim_{y\to x}\left[\frac{f(g(y))-f(g(x))}{g(y)-g(x)}\times\frac{g(y)-g(x)}{y-x}\right]\\&=\lim_{y\to x}\left[\frac{f(g(y))-f(g(x))}{g(y)-g(x)}\right]\times\lim_{y\to x}\left[\frac{g(y)-g(x)}{y-x}\right]\\&=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)\end{aligned}$으로 표현되는 것을 미분의 연쇄법칙이라 한다.

[다] 함수의 역함수 $\displaystyle f^{-1}$는 $\displaystyle y=f ^{-1} (x)$ ⇔ $\displaystyle x=f^{-1}(y)$를 만족하도록 대응시키는 함수를 말한다.Correction. 역함수의 정의에서 오른쪽 식 $\displaystyle x=f^{-1}(y)$는 $\displaystyle x=f(y)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.