자연계열 3번

$\displaystyle y=f(f^{-1}(y))$라는 사실을 이용하여 $\displaystyle f^{-1}(y)$의 일계도함수를 구할 수 있다. (나)의 연쇄 법칙을 이용하여 다음과 같은 사실을 유도해 낼 수 있다.$\displaystyle 1=\frac d{dy}y=\frac d{dy}f(f^{-1}(y))=f^{\prime}(f^{-1}(y))\frac d{dy}f^{-1}(y)$따라서 $\displaystyle \frac d{dy}f^{-1}(y)=\frac1{f^{\prime}(f^{-1}(y))}$로 구할 수 있다. 이 결과를 이용하여 $\displaystyle f(x)=x^2 -2x +7$의 역함수의 일계도함수를 구하기 위해서, 우선 다음 두 결과를 구한다.$\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dx}f(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-2(x+h)+7-x^2+2x-7}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{h(2x+h)-2h}{h}\\&=2(x-1)\\[1em]f^{-1}(y)&=1+\sqrt{1-7+y}=1+\sqrt{y-6}\end{aligned}$그러므로 역함수의 일계도함수는 다음과 같다.$\displaystyle \frac d{dy}f^{-1}(y)=\frac1{f^{\prime}(f^{-1}(y))}=\frac1{2\sqrt{y-6}}$주의: 위와 같이 풀지 않고 직접 $\displaystyle f^{-1}(y)$를 미분하려면 먼저 정의(가)에 의해 $\displaystyle \frac d{dx}\sqrt{x}$를 구해야 한다.