자연계열 1번

로렌츠 곡선 $\displaystyle y = L(x)$는 소득이 하위 $\displaystyle x$에 해당하는 인구의 소득의 합계가 전체 소득에서 차지하는 비율의 함수이다. 따라서 로렌츠곡선의 도함수 $\displaystyle L^{\prime}(x)$는 소득이 하위 $\displaystyle x$와 $\displaystyle x+\Delta x$에 들어가는 인구의 소득의 합이 전체소득에서 차지하는 비율을 $\displaystyle \Delta x$으로 나눈 후, $\displaystyle \Delta x$를 0으로 보내는 극한값이다. 즉,$\displaystyle L^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{L(x+\Delta x)-L(x)}{\Delta x}$이다. 따라서, 전체인구를 $\displaystyle P$, 전체 소득의 합을 $\displaystyle I$라고 하면,$\displaystyle L^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(L(x+\Delta x)-L(x))\cdot I}{\Delta x\cdot P}\cdot\frac PI=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\text{소득이 }x\text{와 }x+\Delta x\text{ 사이인 인구의 소득}}{\text{소득이 }x\text{와 }x+\Delta x\text{ 사이인 인구}}\cdot\frac PI$이다. 인구가 매우 많다고 하면 근사적으로$\displaystyle L^{\prime}(x)=\frac{\text{소득 하위 }x\text{인 사람의 소득}}{\text{평균소득}}$이다. 따라서, 로렌츠곡선의 도함수 $\displaystyle L^{\prime}(x)$는 단조증가한다. 로렌츠 곡선이 2번 미분가능하고 직선인 구간을 포함하지 않는다고 했으므로 $\displaystyle L^{\prime\prime}(x)>0$이다. 따라서 로렌츠 곡선은 아래로 볼록이다.Comment. 직선인 구간이 없다는 조건만으로 모든 점에서 $\displaystyle L^{\prime\prime}(x)>0$이라고 할 수는 없다. 도함수의 단조증가로부터는 $\displaystyle L^{\prime\prime}(x)\ge0$을 얻는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.