자연계열 1번

제시문의 내용은가) $\displaystyle \text{평균속도}=\frac{\text{이동 거리}}{\text{통과 시간}}$나) 평균값 정리 : $\displaystyle \frac{v(a)-v(b)}{a-b}=v^{\prime}(c)$ 인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$사이에 존재한다.다) (시각 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지 이동거리) = $\displaystyle \int_a^b v(t)\,dt$이다. 문제의 제한조건은1) 가속도의 절대값 $\displaystyle |a|\le2$이다. 즉 $\displaystyle |v^{\prime}(t)|\le2$.2) 처음 16 m 구간의 평균속도가 2 m/s이다.3) 후진하지 않는다. 즉 $\displaystyle v(t)\ge0$.

제시문의 내용을 이용한 문제 풀이의 사례를 정리하여 쓰면 다음과 같다.a) 가)와 2)에 의하여 $\displaystyle \frac{16}{16m\text{ 지점 통과시각}}=2$. 즉, (16 m 지점의 통과시각) = 8.b) 다)와 a)에 의하여 $\displaystyle \int_0^8v(t)\,dt=16$.c) 나)와 1)에 의하여 $\displaystyle t>0$일 때, $\displaystyle \frac{v(t)-v(8)}{t-8}\le2$.d) c)를 풀어쓰면 음수를 곱하면 부등식이 바뀌므로 $\displaystyle 0<t<8$일 때, $\displaystyle v(t)\ge2t-16+v(8)$.e) c)를 풀어쓰면, $\displaystyle t>8$일 때, $\displaystyle v(t)\le2t-16+v(8)$.f) 3)과 b), d)에 의하여 ($\displaystyle t\ge8-v(8)/2$일 때, d)의 우변은 $\displaystyle 2t-16-v(8)\ge0$)Correction. f)의 괄호 안에 적힌 $\displaystyle 2t-16-v(8)$은 $\displaystyle 2t-16+v(8)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 16=\int_0^8v(t)\,dt\ge\int_{8-v(8)/2}^8(2t-16+v(8))\,dt=\frac{v(8)^2}4$, 즉 $\displaystyle 0\le v(8)\le8$.g) b), e), f)에 의하여$\displaystyle \int_0^9v(t)\,dt=\int_0^8v(t)\,dt+\int_8^9v(t)\,dt\le16+\int_8^9(2t-16+v(8))\,dt\le16+\int_8^9(2t-8)\,dt=25.$따라서 다)에 의하여 처음 9초 동안 이동한 거리는 25 m 이하이므로 25 m를 이동하는 데는 적어도 9초 이상 필요하다.