동국대 2016학년도 모의 자연계열 1번 해설

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle 0$ 이 아닌 실수일 때, 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에서 점 $\displaystyle P(x,y)$ 를 점 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$ 으로 옮기는 변환 $\displaystyle f:(x,y)\to(kx,ky)$ 를 원점을 중심으로 하고 닮음비가 $\displaystyle k$ 인 닮음변환이라고 한다.

- 『고등학교 수학』

[나] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 가 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ $\displaystyle (a\le x\le b)$ 의 길이 $\displaystyle l$ 은 $\displaystyle l=\int_a^b\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}\,dx=\int_a^b\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\,dx.$ - 『고등학교 수학』

[다] 줄의 양 끝을 잡으면 팽팽히 잡아당긴다 하더라도 중력의 영향으로 늘어뜨려진 모양이 된다. 이러한 모양의 곡선을 현수선이라고 한다. 현수선 위의 임의의 점 $\displaystyle (x,f(x))$ 에서의 접선의 기울기가 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$ 이고 $\displaystyle f(0)=0$ 이라고 하면, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2-1$ 이다.- 『고등학교 수학』

[문제1] 제시문 [다]에서 주어진 현수선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 두 점 $\displaystyle (-a,f(-a))$ 와 $\displaystyle (a,f(a))$ 사이의 현수선의 길이를 제시문 [나]를 이용하여 구하시오. 길이가 6m인 줄의 양끝을 같은 높이로 고정하였을 때 줄의 가운데가 양끝 고정점에 비하여 1m 아래로 늘어뜨려졌다고 가정하고, 이 줄의 모양이 제시문 [다]의 현수선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 제시문 [가]에서 설명한 닮음변환에 의하여 얻어진 곡선과 같다고 할 때, 닮음비 $\displaystyle k$ 를 구하고 줄의 양끝 고정점 사이의 거리를 계산하시오.

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제시문 나에서 주어진 공식에 의하여 제시문 다에서 주어진 현수선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 두 점 $\displaystyle (-a,f(-a))$ 과 $\displaystyle (a,f(a))$ 사이의 현수선의 길이는 $\displaystyle \int_{-a}^a\sqrt{1+(\frac{e^x-e^{-x}}2)^2}\,dx=2\int_0^a\sqrt{(\frac{e^x+e^{-x}}2)^2}\,dx=\int_0^d(e^x+e^{-x})\,dx=e^a-e^{-a}$ Correction. 현수선 길이를 계산하는 세 번째 적분에서 상한 $\displaystyle d$ 는 $\displaystyle a$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프는 좌우대칭으로 원점을 지나며 원점은 두 점 $\displaystyle (-a,f(a))$ 과 $\displaystyle (a,f(a))$ 보다 $\displaystyle f(a)$ 만큼 높이가 낮다.

이 곡선을 닮은비가 $\displaystyle k$ 인 닮은변환으로 변환하면 좌우대칭인 두 점 $\displaystyle (-ka,kf(a))$ , $\displaystyle (ka,kf(a))$ 을 지나고 원점을 지나는 곡선으로 길이는 $\displaystyle k(e^a-e^{-a})$ 이다. 이 곡선이 길이가 6 m 이고 가운데가 1 m 늘어진 양 쪽이 고정된 줄의 모양과 같으므로 다음의 식을 얻는다. $\displaystyle k(e^a-e^{-a})=6,\qquad kf(a)=k(\frac{e^a+e^{-a}}2-1)=1$ 두 번째 식에 $\displaystyle k$ 를 더하고 제곱한 것에서 첫 번째 식의 반을 제곱을 빼주면 $\displaystyle k^2=(k+1)^2-9$ 따라서 닮은비 $\displaystyle k=4$ 이고 $\displaystyle e^a=2$ , 즉 $\displaystyle a=\ln2$ 이다. 양끝 고정점 사이의 거리는 $\displaystyle 2ka$ 이고 따라서 거리는 $\displaystyle 2ka=8\ln2$ 이다.

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자연계열 1번

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