자연계열 1번

제시문 나에서 주어진 공식에 의하여 제시문 다에서 주어진 현수선 $\displaystyle y=f(x)$위의 두 점 $\displaystyle (-a,f(-a))$과 $\displaystyle (a,f(a))$사이의 현수선의 길이는$\displaystyle \int_{-a}^a\sqrt{1+(\frac{e^x-e^{-x}}2)^2}\,dx=2\int_0^a\sqrt{(\frac{e^x+e^{-x}}2)^2}\,dx=\int_0^d(e^x+e^{-x})\,dx=e^a-e^{-a}$Correction. 현수선 길이를 계산하는 세 번째 적분에서 상한 $\displaystyle d$는 $\displaystyle a$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 좌우대칭으로 원점을 지나며 원점은 두 점 $\displaystyle (-a,f(a))$과 $\displaystyle (a,f(a))$ 보다 $\displaystyle f(a)$만큼 높이가 낮다.

이 곡선을 닮은비가 $\displaystyle k$인 닮은변환으로 변환하면 좌우대칭인 두 점 $\displaystyle (-ka,kf(a))$, $\displaystyle (ka,kf(a))$을 지나고 원점을 지나는 곡선으로 길이는 $\displaystyle k(e^a-e^{-a})$이다. 이 곡선이 길이가 6 m 이고 가운데가 1 m 늘어진 양 쪽이 고정된 줄의 모양과 같으므로 다음의 식을 얻는다.$\displaystyle k(e^a-e^{-a})=6,\qquad kf(a)=k(\frac{e^a+e^{-a}}2-1)=1$두 번째 식에 $\displaystyle k$를 더하고 제곱한 것에서 첫 번째 식의 반을 제곱을 빼주면$\displaystyle k^2=(k+1)^2-9$따라서 닮은비 $\displaystyle k=4$이고 $\displaystyle e^a=2$, 즉 $\displaystyle a=\ln2$이다. 양끝 고정점 사이의 거리는 $\displaystyle 2ka$이고 따라서 거리는 $\displaystyle 2ka=8\ln2$이다.