자연계열 3번

반지름이 r인 구의 부피 = $\displaystyle 2 \int _{0} ^{r} {\pi (r ^{2} -x ^{2} ) ^{}} dx$ $\displaystyle =2 \pi \Biggl[ r ^{2} x- \frac{1}{3} x ^{3} \Biggr] _{0} ^{r} = \frac{4}{3} \pi r ^{3}$ 이다. 철수의 방법에서 기본공간을 한 변의 길이가 a인 정육면체로 잡으면 각 꼭지점에는 반지름의 길이가 r인 구가 $\displaystyle ( \frac{1}{8} )$개씩 있고 중앙에 1개의 구가 있다. 따라서 기본공간 안에는 $\displaystyle 1+8$ × $\displaystyle ( \frac{1}{8} )=2$개의 구가 들어 있다. 한편 정육면체의 대각선을 따라 3개의 구가 접하고 있으므로 a와 r의 관계는 $\displaystyle \sqrt {3} a=4r$ 이다.

따라서 쌓기 밀도 식 $\displaystyle = \frac{2( \frac{4}{3} \pi r ^{3} )}{a ^{3}}$ × 100 $\displaystyle = \frac{\frac{8}{3} \pi ( \frac{\sqrt {3}}{4} a) ^{3}}{a ^{3}}$ × 100 $\displaystyle = \frac{\sqrt {3} \pi }{8}$ × 100 이다. 영희의 방법에서 기본공간을 한 변의 길이가 a인 정육면체로 잡으면 각 꼭지점에는 반지름의 길이가 r인 구가 $\displaystyle ( \frac{1}{8} )$개씩 있고 각 면마다 $\displaystyle ( \frac{1}{2} )$개의 구가 있다. 따라서 기본공간 안에는 6×($\displaystyle \frac{1}{2}$)+8×$\displaystyle ( \frac{1}{8} )$개의 구가 들어 있다. 한편 정육면체의 각 면의 대각선을 따라 3개의 구가 서로 접하고 있으므로 a와 r의 관계는 $\displaystyle \sqrt {2} a=4r$ 이다. 따라서 쌓기 밀도 식 = $\displaystyle \frac{4( \frac{4}{3} \pi r ^{3} )}{a ^{3}}$ × 100 $\displaystyle = \frac{\frac{16}{3} \pi ( \frac{\sqrt {2}}{4} a) ^{3}}{a ^{3}}$ × 100 $\displaystyle = \frac{\sqrt {2}\pi }{6}$ × 100 이다. 또한, $\displaystyle \frac{\sqrt {3}}{8}$ 〈 $\displaystyle \frac{\sqrt {2}}{6}$ 이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt {3} \pi }{8}$ × 100 〈 $\displaystyle \frac{\sqrt {2} \pi }{6}$ × 100 이다.

따라서 영희의 구 쌓기 밀도 식 값이 철수의 구 쌓기 밀도 식 값 보다 크므로, 영희가 철수보다 정해진 컨테이너 박스 안에 더 많은 구를 쌓을 수 있다고 결론 내릴 수 있다.