자연계열 3번

밑면의 반지름의 길이가 $\displaystyle r$, 높이가 $\displaystyle h$인 원기둥의 겉넓이 $\displaystyle A(r)=2 \pi r ^{2} +2 \pi hr$ 이고, 부피 $\displaystyle V(r)=\pi hr^2$ 이다.

부피가 일정하다고 했으므로 $\displaystyle V(r)=1$ 로 놓고 $\displaystyle h$를 구하면,$\displaystyle \pi r ^{2} h=1$ 에서 $\displaystyle h= \frac{1}{\pi r ^{2}}$ 이다.

$\displaystyle h= \frac{1}{\pi r ^{2}}$ 을 식 $\displaystyle A(r)=2 \pi r ^{2} +2 \pi hr$ 에 대입하여 정리하면, $\displaystyle A(r)=2 \pi r ^{2} +2 \pi hr$ $\displaystyle =2 \pi r ^{2} +2 \pi \frac{1}{\pi r ^{2}} r$ $\displaystyle =2 \pi r ^{2} + \frac{2}{r}$ 이 된다.

겉넓이 $\displaystyle A(r)$이 최소가 되는 $\displaystyle r$을 구하기 위하여 $\displaystyle A^{\prime}(r)=0$ 이 되는 $\displaystyle r$을 구하면, $\displaystyle A ^{\prime} (r)=4 \pi r ^{} - \frac{2}{r ^{2}} = \frac{4 \pi r ^{3} -2}{r ^{2}}$ 에서 $\displaystyle A^{\prime}(r)=0$ 이므로 $\displaystyle 4 \pi r ^{3} -2=0$ 이다.따라서 $\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{2\pi}}$ 이다.

이 $\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{2\pi}}$ 을 식 $\displaystyle h= \frac{1}{\pi r ^{2}}$ 에 대입하면 $\displaystyle h=\frac{\sqrt[3]{4\pi^2}}\pi$이므로,$\displaystyle h$와 $\displaystyle r$의 관계를 알아보기 위해 $\displaystyle \frac{h}{r}$을 계산해 보면, $\displaystyle \frac hr=\frac{\frac{\sqrt[3]{4\pi^2}}\pi}{\sqrt[3]{\frac1{2\pi}}}=2$ 이다.따라서 $\displaystyle h$가 $\displaystyle r$의 길이의 2배일 때, 겉넓이가 최소가 된다. 그러므로 부피가 일정한 원기둥 용기를 만드는 재료를 최소화 하려고 한다면, 원기둥 밑면의 반지름의 길이 r과 높이 h의 길이의 비 r : h = 1 : 2로 조정하면 된다.