자연계열 3번

배의 속도가 $\displaystyle v$이고 B, P의 거리가 $\displaystyle x$일 때, 철수가 C에 도착하는 시간을 구하면 $\displaystyle T(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}v+(b-x)$이다. 이 함수가 최솟값을 갖는 $\displaystyle x$를 구하면 된다. 이 함수를 미분하면 다음과 같다:$\displaystyle T^{\prime}(x)=\frac{x}{v\sqrt{a^2+x^2}}-1=\frac1{v\sqrt{a^2+x^2}}(x-v\sqrt{a^2+x^2})$

위 미분값 $\displaystyle T^{\prime}(x)=0$ 이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle x=v\sqrt{a^2+x^2}$이다. $\displaystyle x=v\sqrt{a^2+x^2}$를 만족하는 $\displaystyle x$가 존재하려면 $\displaystyle (1-v^2)x^2=v^2a^2$을 만족해야 한다. $\displaystyle v<1$라고 가정하고 $\displaystyle x_0=\frac{va}{\sqrt{1-v^2}}$로 놓자.

먼저, $\displaystyle v≤\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$인 경우를 생각해 보자. 이 경우 $\displaystyle x_0≤b$이다. $\displaystyle 0<x<x_0$이면 $\displaystyle T^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x_0<x<b$이면 $\displaystyle T^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle T(x)$는 $\displaystyle x_0$에서 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle x(v)=\frac{va}{\sqrt{1-v^2}}$이다. 반대로 $\displaystyle v>\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$라고 가정하자. 그러면 $\displaystyle 0<x<b$에서 $\displaystyle T^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle T$는 $\displaystyle 0≤x≤b$에서 감소함수이다. 따라서 $\displaystyle x(v)=b$에서 $\displaystyle T$가 최소이다.마지막으로 정리해 보면 다음과 같다.1) $\displaystyle v≤\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$이면 $\displaystyle x(v)=\frac{va}{\sqrt{1-v^2}}$이다.2) $\displaystyle v>\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$이면 $\displaystyle x(v)=b$이다.