자연계열 1번

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선이 $\displaystyle y=g(x)$와 평행인 경우 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOC}_0$의 넓이가 최대이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}_0$에서의 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac{3a^2}2$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{C}_0$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t$라 하면$\displaystyle f^{\prime}(t)=3t^2-\frac{3a^2}2=\frac{3a^2}2\qquad(1)$이므로 $\displaystyle t=\pm a$이다. $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle \mathrm{C}_0$의 좌표는$\displaystyle \mathrm{C}_0\left(a,-\frac{a^3}2\right).\qquad(2)$

$\displaystyle f(x)=g(x)\Leftrightarrow x^3-\frac{3a^2}2x=\frac{3a^2}2x\Leftrightarrow x=0,\pm\sqrt3a$이고 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 $\displaystyle x$좌표가 양수이므로 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는$\displaystyle \mathrm{A}\left(\sqrt3a,\frac{3\sqrt3a^3}2\right).\qquad(3)$따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$의 길이는$\displaystyle \sqrt{(\sqrt3a-0)^2+\left(\frac{3\sqrt3a^3}2-0\right)^2}=\frac{\sqrt3a}2\sqrt{9a^4+4}\qquad(4)$이고 점 $\displaystyle \mathrm{C}_0$와 직선 $\displaystyle y=\frac{3a^2}2x$ 사이의 거리가$\displaystyle \frac{\left|\frac{3a^2}2\cdot a-\left(-\frac{a^3}2\right)\right|}{\sqrt{\left(\frac{3a^2}2\right)^2+(-1)^2}}=\frac{4a^3}{\sqrt{9a^4+4}}\qquad(5)$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AOC}_0$의 넓이는$\displaystyle \frac12\cdot\frac{\sqrt3a}2\sqrt{9a^4+4}\cdot\frac{4a^3}{\sqrt{9a^4+4}}=\sqrt3a^4.\qquad(6)$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-\frac{3a^2}2$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-\frac{3a^2}2$, $\displaystyle f^{\prime}(\sqrt3a)=\frac{15a^2}2$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle h_1(x)=-\frac{3a^2}2x,\qquad(12)$점 $\displaystyle \mathrm{A}\left(\sqrt3a,\frac{3\sqrt3a^3}2\right)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle h_2(x)=\frac{15a^2}2(x-\sqrt3a)+\frac{3\sqrt3a^3}2=\frac{15a^2}2x-6\sqrt3a^3.\qquad(13)$(12), (13)에 의하여$\displaystyle h_1(x)=h_2(x)\Leftrightarrow\frac{15a^2}2x-6\sqrt3a^3=-\frac{3a^2}2x\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt3a}3$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는$\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac{2\sqrt3a}3,-\sqrt3a^3\right).\qquad(14)$

곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=g(x)$의 교점이 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$, $\displaystyle \mathrm{A}\left(\sqrt3a,\frac{3\sqrt3a^3}2\right)$이므로$\displaystyle S_1(a)=\int_0^{\sqrt3a}\left\{\frac{3a^2}2x-\left(x^3-\frac{3a^2}2x\right)\right\}dx=\frac{9a^4}4.\qquad(15)$

점 $\displaystyle \mathrm{B}\left(\frac{2\sqrt3a}3,-\sqrt3a^3\right)$와 직선 $\displaystyle y=\frac32a^2x$ 사이의 거리는$\displaystyle \frac{\left|\frac{3a^2}2\cdot\frac{2\sqrt3a}3-(-\sqrt3a^3)\right|}{\sqrt{\left(\frac{3a^2}2\right)^2+(-1)^2}}=\frac{4\sqrt3a^3}{\sqrt{9a^4+4}}.\qquad(16)$(4)에 의해 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이는$\displaystyle \frac12\cdot\frac{\sqrt3a}2\sqrt{9a^4+4}\cdot\frac{4\sqrt3a^3}{\sqrt{9a^4+4}}=3a^4\qquad(17)$이므로 $\displaystyle S_2(a)=3a^4-\frac{9a^4}4=\frac{3a^4}4$이다.

따라서 (15)에 의하여 $\displaystyle S_1(a)=k\cdot S_2(a)$를 만족시키는 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle 3$이다.

(15) 또는 (21)에 의하여 $\displaystyle S_1(a)=\frac{9a^4}4$이므로 주어진 식에 대입해서 정리하면$\displaystyle \frac{9-9\sin^4\theta}{9\cos^2\theta+18\sin^2\theta}=\frac12.\qquad(24)$$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$이므로, 주어진 식은$\displaystyle \frac{1-\sin^4\theta}{1+\sin^2\theta}=\frac12.\qquad(25)$$\displaystyle 1-\sin^4\theta=(1-\sin^2\theta)(1+\sin^2\theta)$이므로 주어진 식은$\displaystyle 1-\sin^2\theta=\frac12.\qquad(26)$

따라서 $\displaystyle \sin\theta=\pm\frac1{\sqrt2}$이다. $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle \sin\theta>0$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac1{\sqrt2}$이고, 따라서 $\displaystyle \theta=\frac\pi4$이다.