상경계열 2번

1.슈주는 $\displaystyle q_1$이 주어져 있는 상태에서 다음을 극대화하는 $\displaystyle q_2$를 찾아야 한다.$\displaystyle \pi_2(q_2)=(a-b(q_1+q_2))q_2-c_2q_2$.극대화를 위하여 이 식을 미분하여 0으로 놓으면 다음과 같다.$\displaystyle a=2bq_2+bq_1+c_2$.따라서 답은 다음과 같다.$\displaystyle q_2=\frac{a-bq_1-c_2}{2b},\ \text{if }a-bq_1-c_2>0$.$\displaystyle q_2=0\ \text{if }a-bq_1-c_2\le0$.(여기서 If 구문을 $\displaystyle a-bq_1-c_2\ge0$와 $\displaystyle a-bq_1-c_2<0$로 바꾸어도 됨.)여기서 $\displaystyle b=1$이고 $\displaystyle c_2=0$이므로 답은,$\displaystyle q_2=\frac{a-q_1}2,\ \text{if }a-q_1>0$$\displaystyle q_2=0\ \text{if }a-q_1\le0$(여기서 If 구문을 $\displaystyle a-q_1\ge0$와 $\displaystyle a-q_1<0$로 바꾸어도 됨.)

2.슈주의 생산전략을 $\displaystyle q_2(q_1)$이라고 표시하자. 소시는 슈주의 생산전략을 감안하여 다음을 극대화하여야 한다.$\displaystyle \pi_1(q_1)=(a-b(q_1+q_2(q_1)))q_1-c_1q_1$.소시의 이익함수를 미분하고 0으로 놓으면,$\displaystyle \pi_1^{\prime}(q_1)=\frac{a-2bq_1+c_2-2c_1}2=0$.따라서 소시와 슈주의 최적 생산량은,$\displaystyle (q_1,q_2)=\left(\frac{c_2-2c_1+a}{2b},\frac{a-3c_2+2c_1}{4b}\right)$.여기서 $\displaystyle b=1$이고 $\displaystyle c_2=0$이므로 답은,$\displaystyle (q_1,q_2)=\left(\frac{a-2c}2,\frac{a+2c}4\right)$

3.소시의 시장점유율은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{q_1}{q_1+q_2}=\frac{2(a-2c_1)}{3a-2c_1}\Rightarrow diff:\frac{8c}{(3a-2c_1)^2}>0$소시의 시장점유율은 $\displaystyle a$의 증가함수이다. $\displaystyle a$는 가정에 의하여 $\displaystyle 3c\le a\le14c$. 따라서 소시의 시장점유율의 범위는 $\displaystyle [2/7,3/5]$이다.소시의 시장점유율의 범위 = $\displaystyle [2/7,3/5]$

4.슈주의 생산량과 총생산량은 다음과 같다.$\displaystyle q_2=\frac{a-q_1}2$, 그리고 $\displaystyle Q=q_1+q_2=\frac{a+q_1}2$따라서 가격과 매출액은 다음과 같다.$\displaystyle P(Q)=\frac{a-q_1}2$$\displaystyle R_2(q_2)=\left(\frac{a-q_1}2\right)^2$한편 소시의 생산량 $\displaystyle q_1$은 $\displaystyle [0,\theta]$구간에서 연속확률변수로 가정하였고 그 구간에서 확률밀도함수가 상수라고 가정하였다. 따라서 확률밀도함수는 $\displaystyle 1/\theta$이다. 여기서 $\displaystyle \theta=a-c$. 결국 슈주의 매출액의 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle \int_0^\theta\left(\frac{a-q_1}2\right)^2\frac1\theta\,dq_1=\frac{a^2+ac+c^2}{12}$.기댓값 = $\displaystyle \frac{a^2+ac+c^2}{12}$

5.슈주의 평균비용이 $\displaystyle m$이다. 그래서 슈주에게 $\displaystyle m$은 단위당 생산비용이다. 따라서 슈주의 이익함수는 다음과 같다.$\displaystyle \pi_2(q_2)=P(Q)q_2-mq_2$.소시가 $\displaystyle q_1$만큼 생산할 때 슈주의 최적 생산량과 세금은,$\displaystyle q_2=\max\left(\frac{a-m-q_1}2,0\right)$,$\displaystyle tax=\max\left(\left(\frac{a-m-q_1}2\right)m,0\right)$.따라서 세금의 기댓값은$\displaystyle tax=\int_0^{a-m}\frac{(a-m-q_1)m}2\frac1{a-c}\,dq_1=\frac{m(m-a)^2}{4(a-c)}$정리하면, 슈주의 최적 생산량$\displaystyle q_2=\frac{a-m-q_1}2,\ \text{if }a-m-q_1>0$. And, $\displaystyle q_2=0\ \text{if }a-m-q_1\le0$.(여기서 If 구문을 $\displaystyle a-m-q_1\ge0$와 $\displaystyle a-m-q_1<0$로 바꾸어도 됨.)슈주의 세금 기댓값$\displaystyle tax=\int_0^{a-m}\frac{(a-m-q_1)m}2\frac1{a-c}\,dq_1$$\displaystyle dtax/dm=0$을 풀면 $\displaystyle m=a/3$.최적 tax $\displaystyle m^*=a/3$

6.$\displaystyle (q_1,q_2)$를 결정하여 $\displaystyle \pi_1(q_1)+\pi_2(q_2)$를 최대화하는 문제이다. 그런데 소시의 평균생산비용은 항상 $\displaystyle c$이고 슈주의 평균생산비용은 항상 0이다. 따라서 소시는 생산을 안 하고 슈주만 생산하는 게 이익이다. 결국 $\displaystyle (a-q_2)q_2$을 최대화 하여야 한다. 따라서 $\displaystyle (q_1,q_2)=(0,a/2)$. 이때 이익은 $\displaystyle (a/2)^2$이다. 보고된 이익이 10,000이므로 $\displaystyle (a/2)$는 100이다. 따라서 $\displaystyle a$는 200이다.$\displaystyle a=200$