자연계열 1번

홍익대 서울캠퍼스 2026학년도 모의 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2026mo/jayeon_1

문제 1 (30점)

홍익이는 과학 수행평가 프로젝트로 나무막대와 모터를 이용하여 평면에서 회전하는 로봇팔을 만들었다. 우선 길이가 $\displaystyle 1\,\mathrm{m}$ 인 첫 번째 나무막대의 한쪽 끝을 테이블에 고정되어 있는 모터에 연결하고, 그 막대의 반대편 끝은 길이가 $\displaystyle 1/2\,\mathrm{m}$ 인 두 번째 나무막대의 한쪽 끝과 모터로 연결하였다. 전원을 연결하면 두 개의 모터가 동시에 작동하여 일정한 속도로 반시계 방향으로 $\displaystyle 1$ 초에 한 바퀴씩 계속 회전한다. 이때 회전하는 두 개의 나무막대는 서로 부딪히지 않고 회전한다. 첫 번째 나무막대는 테이블의 고정점을 기준으로 $\displaystyle 1$ 초에 한 바퀴씩 회전한다. 두 번째 나무막대는 첫 번째 나무막대와 연결된 부분을 기준으로 $\displaystyle 1$ 초에 한 바퀴씩 회전하지만, 첫 번째 나무막대도 동시에 회전하기 때문에 테이블을 기준으로 하면 $\displaystyle 1$ 초에 두 바퀴를 회전하는 것을 관찰하였다.

다음으로 이러한 로봇팔의 움직임을 일반화하여 아래와 같은 방식으로 나무막대를 계속 이어나갔다. $\displaystyle k$ 번째 나무막대는 길이는 $\displaystyle 1/k\,\mathrm{m}$ 이고 그 막대의 한쪽 끝은 $\displaystyle k-1$ 번째 막대의 끝에 모터로 연결이 되어 있다.Correction. ‘나무막대는 길이는’은 ‘나무막대의 길이는’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그리고 $\displaystyle k$ 번째 나무막대는 $\displaystyle k-1$ 번째 막대와 연결된 부분을 기준으로 $\displaystyle 1$ 초에 한 바퀴씩 계속 서로 부딪히지 않고 회전한다. 홍익이는 로봇팔의 운동을 이해하기 위해 좌표평면을 사용하여 로봇팔의 연결부 위치를 아래와 같이 나타내었다.

① 첫 번째 나무막대가 고정된 테이블의 고정점을 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 로 하고 첫 번째 막대의 반대편 끝점을 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$ , 두 번째 막대의 끝점을 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ , 같은 방식으로 $\displaystyle k$ 번째 나무막대의 끝점을 $\displaystyle \mathrm{P}_{k}$ 라 한다. <그림 1, 2>② 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 $\displaystyle \mathrm{P}_{k}$ 의 위치는 $\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n},\,0\right)$ 이다. <그림 1>③ 모든 모터가 $\displaystyle t$ 초간 회전했을 때 각 점의 위치는 <그림 2>와 같다.

왼쪽 <그림 1>은 t=0일 때 원점 O에서 x축 위에 P₁, P₂, P₃, …, P_k가 차례로 놓인 모습, 오른쪽 <그림 2>는 t초 후 각 막대가 회전하여 O–P₁–P₂–P₃가 꺾인 선으로 이어진 모습과 모터의 회전 방향을 나타낸 그림.

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치 $\displaystyle (x,\,y)$ 가 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 로 나타내어질 때, $\displaystyle f(t)$ , $\displaystyle g(t)$ 를 각각 구하시오.

(2) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 등식 $\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\,\cos\alpha$ $\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$ 이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 문항(1)의 $\displaystyle f(t)$ , $\displaystyle g(t)$ 에 대해 다음 등식이 성립함을 보이시오. $\displaystyle f^{\prime}(t)^{2}+g^{\prime}(t)^{2}=16\pi^{2}\cos^{2}\pi t$

(3) 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=1$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ 가 움직인 거리를 구하시오.

(4) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 등식 $\displaystyle \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\,\sin\beta$ $\displaystyle \sin(\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta)=-2\cos\alpha\,\sin\beta$ 이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 다음 등식이 성립함을 보이시오. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sin kx\,\sin\frac{x}{2}=\sin\frac{(n+1)x}{2}\,\sin\frac{nx}{2}$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\cos kx\,\sin\frac{x}{2}=\cos\frac{(n+1)x}{2}\,\sin\frac{nx}{2}$

(5) 문항(4)의 등식을 활용하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{100}$ 의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속도의 크기를 구하고, 반닫힌 구간 $\displaystyle (\,0,\,1\,]$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{100}$ 의 속도의 크기가 $\displaystyle 0$ 이 되는 시각은 모두 몇 개인지 구하시오.

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+4점 · (1) 두 막대의 움직임을 반영하여 끝점의 좌표를 구한다.

(1) 시각 $\displaystyle t$ 에서 두 막대가 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 $\displaystyle 2\pi t$ , $\displaystyle 4\pi t$ 이므로각 막대의 길이와 방향을 반영하여 더하면 $\displaystyle \begin{aligned}f(t)&=\cos2\pi t+\frac12\cos4\pi t,\\g(t)&=\sin2\pi t+\frac12\sin4\pi t\end{aligned}$ 이다.

+2점 · (2) 제시한 두 배각 공식을 증명한다.

(2) 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \begin{aligned}\sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\\\cos2\alpha&=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\end{aligned}$ 이다.

+4점 · (2) 도함수의 제곱합이 주어진 식과 같음을 보인다.

(1)에서 구한 식을 미분하면 $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(t)&=-2\pi(\sin2\pi t+\sin4\pi t),\\g^{\prime}(t)&=2\pi(\cos2\pi t+\cos4\pi t)\end{aligned}$ 이다. $\displaystyle \theta=2\pi t$ 라 하면 $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2&=4\pi^2\{2+2(\sin\theta\sin2\theta+\cos\theta\cos2\theta)\}\\&=4\pi^2\{2+2\cos\theta(2\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta)\}\\&=8\pi^2(1+\cos2\pi t)\\&=16\pi^2\cos^2\pi t\end{aligned}$ 이다.

+2점 · (3) 속도의 크기로부터 이동 거리를 구하는 식을 세운다.

(3) (2)에 의해 속도의 크기는 $\displaystyle 4\pi|\cos\pi t|$ 이므로이동 거리는 $\displaystyle \int_0^1 4\pi|\cos\pi t|\,dt$ 이다.

+2점 · (3) 이동 거리를 올바르게 계산한다.

$\displaystyle \cos\pi t$ 는 $\displaystyle 0\le t\le\frac12$ 에서 음이 아니고, $\displaystyle \frac12\le t\le1$ 에서 양이 아니므로 $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1 4\pi|\cos\pi t|\,dt&=4\pi\int_0^{1/2}\cos\pi t\,dt-4\pi\int_{1/2}^1\cos\pi t\,dt\\&=4+4=8\end{aligned}$ 이다.따라서 이동 거리는 $\displaystyle 8\,\mathrm m$ 이다.

+2점 · (4) 제시한 두 차의 항등식을 증명한다.

(4) 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \begin{aligned}\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)&=(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\&\quad-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\&=2\sin\alpha\sin\beta,\\\sin(\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta)&=(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\&\quad-(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\&=-2\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}$ 이다.

+3점 · (4) 사인함수의 합에 관한 등식을 증명한다.

첫 번째 등식에 $\displaystyle \alpha=kx$ , $\displaystyle \beta=\frac x2$ 를 대입하고 합하면이웃한 항이 상쇄되므로 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\sin kx\sin\frac x2&=\frac12\sum_{k=1}^n\left\{\cos\left(k-\frac12\right)x-\cos\left(k+\frac12\right)x\right\}\\&=\frac12\left\{\cos\frac x2-\cos\left(n+\frac12\right)x\right\}\\&=\sin\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}\end{aligned}$ 이다.

+3점 · (4) 코사인함수의 합에 관한 등식을 증명한다.

두 번째 등식에도 $\displaystyle \alpha=kx$ , $\displaystyle \beta=\frac x2$ 를 대입하고 합하면 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\cos kx\sin\frac x2&=\frac12\sum_{k=1}^n\left\{\sin\left(k+\frac12\right)x-\sin\left(k-\frac12\right)x\right\}\\&=\frac12\left\{\sin\left(n+\frac12\right)x-\sin\frac x2\right\}\\&=\cos\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}\end{aligned}$ 이다.

+5점 · (5) 모든 시각에서 성립하도록 속도의 크기를 구한다.

(5) $\displaystyle k$ 번째 막대가 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각은 $\displaystyle 2\pi kt$ 이므로 $\displaystyle \mathrm P_{100}$ 의 좌표를 $\displaystyle (X(t),Y(t))$ 라 하면 $\displaystyle \begin{aligned}X(t)&=\sum_{k=1}^{100}\frac1k\cos2\pi kt,\qquad Y(t)=\sum_{k=1}^{100}\frac1k\sin2\pi kt,\\X^{\prime}(t)&=-2\pi\sum_{k=1}^{100}\sin2\pi kt,\qquad Y^{\prime}(t)=2\pi\sum_{k=1}^{100}\cos2\pi kt\end{aligned}$ 이다.(i) $\displaystyle t$ 가 정수일 때각 사인값은 $\displaystyle 0$ 이고,각 코사인값은 $\displaystyle 1$ 이므로속도의 크기는 $\displaystyle 200\pi$ 이다.(ii) $\displaystyle t$ 가 정수가 아닐 때 $\displaystyle \sin\pi t\ne0$ 이므로(4)에 $\displaystyle x=2\pi t$ , $\displaystyle n=100$ 을 대입하면 $\displaystyle \begin{aligned}X^{\prime}(t)&=-2\pi\frac{\sin101\pi t\sin100\pi t}{\sin\pi t},\\Y^{\prime}(t)&=2\pi\frac{\cos101\pi t\sin100\pi t}{\sin\pi t}\end{aligned}$ 이다.따라서 속도의 크기는 $\displaystyle \sqrt{X^{\prime}(t)^2+Y^{\prime}(t)^2}=2\pi\left|\frac{\sin100\pi t}{\sin\pi t}\right|$ 이다.

+3점 · (5) 주어진 구간에서 속도의 크기가 0인 시각의 개수를 정확하게 센다.

$\displaystyle t=1$ 에서는 속도의 크기가 $\displaystyle 200\pi$ 이므로 $\displaystyle 0<t<1$ 에서 $\displaystyle \sin100\pi t=0$ 인 시각만 세면 된다.그 시각은 $\displaystyle t=\frac1{100},\frac2{100},\ldots,\frac{99}{100}$ 이므로 모두 $\displaystyle 99$ 개이다.

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