자연계열 1번

(1) 시각 $\displaystyle t$에서 두 막대가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 $\displaystyle 2\pi t$, $\displaystyle 4\pi t$이므로각 막대의 길이와 방향을 반영하여 더하면$\displaystyle \begin{aligned}f(t)&=\cos2\pi t+\frac12\cos4\pi t,\\g(t)&=\sin2\pi t+\frac12\sin4\pi t\end{aligned}$이다.

(2) 덧셈정리에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\\\cos2\alpha&=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\end{aligned}$이다.

(1)에서 구한 식을 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(t)&=-2\pi(\sin2\pi t+\sin4\pi t),\\g^{\prime}(t)&=2\pi(\cos2\pi t+\cos4\pi t)\end{aligned}$이다.$\displaystyle \theta=2\pi t$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(t)^2+g^{\prime}(t)^2&=4\pi^2\{2+2(\sin\theta\sin2\theta+\cos\theta\cos2\theta)\}\\&=4\pi^2\{2+2\cos\theta(2\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta)\}\\&=8\pi^2(1+\cos2\pi t)\\&=16\pi^2\cos^2\pi t\end{aligned}$이다.

(3) (2)에 의해 속도의 크기는 $\displaystyle 4\pi|\cos\pi t|$이므로이동 거리는 $\displaystyle \int_0^1 4\pi|\cos\pi t|\,dt$이다.

$\displaystyle \cos\pi t$는 $\displaystyle 0\le t\le\frac12$에서 음이 아니고,$\displaystyle \frac12\le t\le1$에서 양이 아니므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1 4\pi|\cos\pi t|\,dt&=4\pi\int_0^{1/2}\cos\pi t\,dt-4\pi\int_{1/2}^1\cos\pi t\,dt\\&=4+4=8\end{aligned}$이다.따라서 이동 거리는 $\displaystyle 8\,\mathrm m$이다.

(4) 덧셈정리에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)&=(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\&\quad-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\&=2\sin\alpha\sin\beta,\\\sin(\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta)&=(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\&\quad-(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\\&=-2\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}$이다.

첫 번째 등식에 $\displaystyle \alpha=kx$, $\displaystyle \beta=\frac x2$를 대입하고 합하면이웃한 항이 상쇄되므로$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\sin kx\sin\frac x2&=\frac12\sum_{k=1}^n\left\{\cos\left(k-\frac12\right)x-\cos\left(k+\frac12\right)x\right\}\\&=\frac12\left\{\cos\frac x2-\cos\left(n+\frac12\right)x\right\}\\&=\sin\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}\end{aligned}$이다.

두 번째 등식에도 $\displaystyle \alpha=kx$, $\displaystyle \beta=\frac x2$를 대입하고 합하면$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\cos kx\sin\frac x2&=\frac12\sum_{k=1}^n\left\{\sin\left(k+\frac12\right)x-\sin\left(k-\frac12\right)x\right\}\\&=\frac12\left\{\sin\left(n+\frac12\right)x-\sin\frac x2\right\}\\&=\cos\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}\end{aligned}$이다.

(5) $\displaystyle k$번째 막대가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $\displaystyle 2\pi kt$이므로$\displaystyle \mathrm P_{100}$의 좌표를 $\displaystyle (X(t),Y(t))$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}X(t)&=\sum_{k=1}^{100}\frac1k\cos2\pi kt,\qquad Y(t)=\sum_{k=1}^{100}\frac1k\sin2\pi kt,\\X^{\prime}(t)&=-2\pi\sum_{k=1}^{100}\sin2\pi kt,\qquad Y^{\prime}(t)=2\pi\sum_{k=1}^{100}\cos2\pi kt\end{aligned}$이다.(i) $\displaystyle t$가 정수일 때각 사인값은 $\displaystyle 0$이고,각 코사인값은 $\displaystyle 1$이므로속도의 크기는 $\displaystyle 200\pi$이다.(ii) $\displaystyle t$가 정수가 아닐 때$\displaystyle \sin\pi t\ne0$이므로(4)에 $\displaystyle x=2\pi t$, $\displaystyle n=100$을 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}X^{\prime}(t)&=-2\pi\frac{\sin101\pi t\sin100\pi t}{\sin\pi t},\\Y^{\prime}(t)&=2\pi\frac{\cos101\pi t\sin100\pi t}{\sin\pi t}\end{aligned}$이다.따라서 속도의 크기는$\displaystyle \sqrt{X^{\prime}(t)^2+Y^{\prime}(t)^2}=2\pi\left|\frac{\sin100\pi t}{\sin\pi t}\right|$이다.

$\displaystyle t=1$에서는 속도의 크기가 $\displaystyle 200\pi$이므로$\displaystyle 0<t<1$에서 $\displaystyle \sin100\pi t=0$인 시각만 세면 된다.그 시각은$\displaystyle t=\frac1{100},\frac2{100},\ldots,\frac{99}{100}$이므로 모두 $\displaystyle 99$개이다.