자연계열 1번

(1) $\displaystyle \frac{1}{d^{3}}\ge\frac{1}{8}$ 일 때, 점 Q에서 실리콘이 쌓인 부분의 높이는 $\displaystyle \frac{1}{d^{3}}-\frac{1}{8}$이므로 $\displaystyle d$가 작을수록 높이가 높다. $\displaystyle xy$평면에서 점 P에 가장 가까운 점은 원점이며, 이때 $\displaystyle d=1$이므로 가장 높이 쌓인 곳의 높이 $\displaystyle t_{\max}$는 $\displaystyle 1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$이다.

또한, 점 Q에서 원점까지의 거리를 $\displaystyle r$이라 할 때, $\displaystyle d=\sqrt{1+r^{2}}$이므로 실리콘이 쌓인 부분은$\displaystyle \frac{1}{d^{3}}=\frac{1}{(1+r^{2})^{\frac{3}{2}}}>\frac{1}{8}$을 만족한다. 즉, $\displaystyle 0\le r<\sqrt{3}$이므로 실리콘이 쌓인 부분의 반지름의 길이는 $\displaystyle R=\sqrt{3}$이다.

(2) 점 Q에서 원점까지의 거리를 $\displaystyle r$이라 할 때, 실리콘이 쌓인 높이 $\displaystyle h(r)$은 $\displaystyle r$에 대하여 감소하는 함수이므로, 높이가 $\displaystyle h(r)=t$인 평면으로 자른 단면은 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원 모양이며, 단면의 넓이는 $\displaystyle \pi r^{2}$이다.

$\displaystyle h(r)=\frac{1}{(1+r^{2})^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{8}=t$로부터, $\displaystyle r^{2}=\left(\frac{1}{8}+t\right)^{-\frac{2}{3}}-1$이므로$\displaystyle S(t)=\pi r^{2}=\pi\left(\left(\frac{1}{8}+t\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right)$이다. (단, $\displaystyle 0\le t\le\frac{7}{8}$)

(3) 문항(2)의 결과를 사용하여 실리콘이 쌓인 부분의 부피를 구하면$\displaystyle \int_{0}^{\frac{7}{8}}S(t)\,dt=\int_{0}^{\frac{7}{8}}\pi\left(\left(\frac{1}{8}+t\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right)dt$

$\displaystyle \begin{aligned} &=\Biggl[\pi\left(3\left(\frac{1}{8}+t\right)^{\frac{1}{3}}-t\right)\Biggr]_{0}^{\frac{7}{8}} \\ &=\pi\left(\left(3-\frac{7}{8}\right)-3\times\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}\right) \\ &=\frac{5\pi}{8} \end{aligned}$

(4) 앞의 문항과 동일한 방법으로 상수 $\displaystyle 0<C<1$에 대하여 실리콘이 쌓인 부분의 부피를 구하면$\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1-C}S(t)\,dt &=\int_{0}^{1-C}\pi\left((C+t)^{-\frac{2}{3}}-1\right)dt \\ &=\pi\Biggl[3(C+t)^{\frac{1}{3}}-t\Biggr]_{0}^{1-C} \\ &=\pi\left[\{3-(1-C)\}-3C^{\frac{1}{3}}\right] \\ &=\pi\left(2+C-3C^{\frac{1}{3}}\right) \end{aligned}$

이므로, $\displaystyle C\to0+$일 때의 극한값은 $\displaystyle 2\pi$이다.

이는 실리콘의 증발량이 $\displaystyle 0$으로 수렴할 때 기판에 쌓이는 실리콘의 부피의 극한값이므로, 뿌려진 실리콘의 총 부피를 나타낸다. 따라서, $\displaystyle C=\frac{1}{8}$일 때 기판에 남아 있는 실리콘의 부피의 비율은 $\displaystyle \frac{\frac{5\pi}{8}}{2\pi}=\frac{5}{16}$이다.