자연계열 2번

<제시문 D>

실세계에서 일어나는 어떤 현상을 수학적인 용어로 바꾼 다음, 수학적인 해석을 통해 이 현상과 관련하여 실세계에서 발생하는 문제에 대한 해법을 추구하는 것을 수학적 모델링(Mathematical Modeling)이라고 한다. 어느 나라의 인구 증가에 대한 수학적 모델링을 하고자 한다. 어느 시점에서 인구 증가율은 그 당시의 인구에 비례한다고 가정한다. $\displaystyle P(t)$를 시점 $\displaystyle t$에서의 인구라 하면 인구 증가율은 $\displaystyle t$에 대한 $\displaystyle P(t)$의 미분, 즉 $\displaystyle P^{\prime}(t)$가 된다. 이 나라의 인구에 대한 관측 시작 시점을 $\displaystyle t=0$이라 하고, 이 때의 인구를 $\displaystyle P_0$라 하면, 인구 증가율이 인구에 비례하므로$\displaystyle P^{\prime}(t)=kP(t),\quad t>0;\quad P(0)=P_0\qquad\cdots\cdots\ (\text{가})$

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서, $\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$보다 큰 비례상수이다. (가)에서 양변을 $\displaystyle P(t)$로 나누어서 적분을 하면,$\displaystyle \int_0^t[\log P(s)]^{\prime}ds=\int_0^t k\,ds$

이고, 이를 계산하면, $\displaystyle P(t)=P_0e^{kt}$가 된다. 이 모델링이 타당한지 확인하기 위하여 이 나라의 과거 인구 통계 자료를 조사해 보았더니, $\displaystyle t$가 작으면 실제 인구와 $\displaystyle P(t)$가 거의 같았으나, $\displaystyle t$가 크면 실제 인구보다 $\displaystyle P(t)$가 매우 큰 값을 갖게 되어 $\displaystyle P(t)$의 값이 자료와 많은 차이를 보였다. 이와 같은 단점을 보완하기 위하여 방정식 (가) 대신에$\displaystyle Q^{\prime}(t)=kQ(t)[K-Q(t)],\quad t>0;\quad Q(0)=Q_0\qquad\cdots\cdots\ (\text{나})$

와 같은 방정식으로 새로운 수학적 모델링을 시도하였다. 여기서, $\displaystyle K$는 양의 실수이다.