이학계열 1번

[문제 1-1]

(1) 선분 AC와 선분 BD의 교점을 O라고 하자.

그림과 같이 점 D에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 E라 하고 점 B에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 F라 하자.

선분 AO의 길이를 $\displaystyle x$라 하면, 선분 OC의 길이는 $\displaystyle p-x$이다.

선분 DO의 길이를 $\displaystyle y$라 하면, 선분 OB의 길이는 $\displaystyle q-y$이다.

선분 DO는 직각삼각형 DOE의 빗변이므로 선분 DE의 길이는 $\displaystyle y\sin\theta$이다.

선분 BO는 직각삼각형 BOF의 빗변이므로 선분 BF의 길이는 $\displaystyle (q-y)\sin\theta$ 이다($\displaystyle \angle\mathrm{BOF}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{DOE}$는 맞꼭지각으로 같다).

(i) 삼각형 DOC의 면적 = (선분 OC의 길이)×(선분 DE의 길이)/2=$\displaystyle (p-x)y\sin\theta/2$(ii) 삼각형 DAO의 면적 = (선분 AO의 길이)×(선분 DE의 길이)/2=$\displaystyle xy\sin\theta/2$(iii) 삼각형 ABO의 면적 = (선분 AO의 길이)×(선분 BF의 길이)/2=$\displaystyle x(q-y)\sin\theta/2$(iv) 삼각형 OBC의 면적 = (선분 OC의 길이)×(선분 BF의 길이)/2=$\displaystyle (p-x)(q-y)\sin\theta/2$

그러므로, 사각형 ABCD의 면적 = (i) + (ii) + (iii) + (iv) = $\displaystyle pq\sin\theta/2$

(2) $\displaystyle S$ 에 주어진 면적이 $\displaystyle pq/4$ 이므로 $\displaystyle pq/4=\frac{pg\sin\theta}{2}$이다.Correction. 예시답안 [1-1] (2)의 분자에 적힌 $\displaystyle g$는 대각선의 길이 $\displaystyle q$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{2}$ $\displaystyle 0\leq\theta\leq90^{\circ}$ 이므로 $\displaystyle \theta=30^{\circ}$또는 $\displaystyle \pi/6$ 이다.

[문제 1-2]

그림과 같이 선분 BD와 평행하게 선분 EA(점 E는 선분 BC의 연장선 위에 있다)를 만들면 사각형 AEBD는 평행사변형이 된다. 그러므로, 선분 EA의 길이=선분 BD의 길이=$\displaystyle m$

점 A에서 선분 EC에 내린 수선의 발을 F라 하면,$\displaystyle \angle\mathrm{AFE}=90^{\circ}$이고 선분 AF의 길이=$\displaystyle h$ 이다.

직각삼각형 AFE에 피타고라스 정리를 적용하면, 선분 EF의 길이 = $\displaystyle \sqrt{m^2-h^2}$( <그림4>에 주어진 사다리꼴 ABCD에서 대각선의 길이가 높이보다 크기 때문에 $\displaystyle m>h$이다. ) 선분 EA와 선분 BD가 평행하므로 동위각으로 $\displaystyle \angle\mathrm{EAC}=\angle\mathrm{BOC}$ ($\displaystyle =90^{\circ}$) 이다.

그러므로 삼각형 EAC는 직각삼각형이 된다. 직각삼각형 EAC와 직각삼각형 EFA에서 대응하는 세 각이 같다(∵ $\displaystyle \angle\mathrm{AEF}=\angle\mathrm{CEA}$, $\displaystyle \angle\mathrm{EFA}=\angle\mathrm{EAC}=90^{\circ}$).

그러므로, 직각삼각형 EAC과 직각삼각형 EFA는 닮음인 두 도형이다.

닮음 도형인 직각삼각형 EAC와 직각삼각형 EFA에 비례식을 이용하면

$\displaystyle \overline{\mathrm{EA}}:\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{EF}}:\overline{\mathrm{FA}}\Rightarrow m:\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{m^2-h^2}:h$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\frac{mh}{\sqrt{m^2-h^2}}$이다.

위의 [문제 1] (1)번의 결과를 이용하여

$\displaystyle R=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\overline{\mathrm{BD}}\times\sin(\pi/2)=\frac{m^2h}{2\sqrt{m^2-h^2}}$