수리논술, 이게 다다.

이학계열 1번

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한국항공대 2011학년도 수시 이학계열 1번 · mathesis.kr/archive/kau/2011su/ihak_1

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문제

[문제 1] (40점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오.

토지 측량을 위해 고대 이집트에서는 기하학에 대해서 많은 연구가 있었다. 이러한 연구는 그리스 수학자들에 의하여 이론적으로 발전되었다. 이들은 ‘정의’와 ‘증명’과 같은 과정을 통하여 평면 도형과 관련된 수학 지식을 학문으로 체계화하는 데에 큰 공헌을 하였다. 한편, 평면에서 도형과 관계된 내용 중(1) 삼각형, 평행사변형, 직사각형, 사다리꼴 같은 평면도형의 면적 공식(2) 합동인 두 도형의 성질(3) 닮음인 두 도형의 성질(4) 평행선과 다른 한 직선이 만날 때 생기는 각의 성질(5) 삼각함수의 성질(6) 직각삼각형의 성질(7) 삼각형의 내심과 외심의 성질등의 여러 가지 기본 성질을 활용하여 새로운 기하학적 사실을 이끌어 낼 수 있다. 특히, 도형 문제에 보조선을 추가하고 평면 도형의 기본 성질을 활용하면 여러 종류의 문제를 풀 수 있다. 이와 같은 수학적 방법은 실생활의 여러 가지 문제를 합리적으로 해결하는 바탕을 이룬다.

[문제 1-1]

두 개의 기계 장치가 <그림 1>에 간략하게 선분 AC와 선분 BD로 주어졌고 그 길이는 각각 p\displaystyle p와 q\displaystyle q이다. <그림 1>과같이 선분 AC와 BD의 교각은 θ\displaystyle \theta이고, 이 장치들이 정상적 작동을 하면 <그림 2>와같이 사각형 ABCD를 경계로 하는 내부의 모든 영역을 사용하게 된다. 주어진 여건에 의하여 사각형 ABCD에 할당된 면적이 pq/4\displaystyle pq/4로 설정되었을 때, 교각 θ\displaystyle \theta를 다음과 같은 순서로 구하여 보자. 단, 기계 장치의 길이 p\displaystyle p와 q\displaystyle q는 각각 일정하다.

(1) 사각형 ABCD의 면적 S\displaystyle S를 p,q,θ\displaystyle p,q,\theta에 관한 식으로 구하고, 그 과정을 평면도형과 관련된 성질을 이용하여 논리적으로 기술하시오.

(2) S=pq/4\displaystyle S=pq/4 일 때, 교각 θ\displaystyle \theta를 구하시오. 단, 0∘≤θ≤90∘\displaystyle 0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ}.

각 θ로 교차하는 두 선분 AC, BD
그림 1
대각선 길이가 p, q이고 교각이 θ인 사각형 ABCD
그림 2

[문제 1-2]

직각으로 교차하는 두 개의 기계 장치를 <그림 3>에 선분 AC와 선분 BD로 표시하였다. <그림 4>와같이 선분 AC와 BD의 끝점을 직선으로 연결하여 만든 사각형 ABCD가 사다리꼴이 되었다. 사다리꼴 ABCD의 높이가 h\displaystyle h이고 대각선 BD의 길이가 m\displaystyle m일 때, 평면도형과 관련된 성질을 이용해 사다리꼴 ABCD의 면적 R\displaystyle R을 m\displaystyle m과 h\displaystyle h에 관한 식으로 구하고 그 과정을 논리적으로 기술하시오.

서로 직교하는 두 선분 AC, BD
그림 3
높이가 h이고 대각선 BD의 길이가 m인 사다리꼴 ABCD
그림 4
해설강의 준비중

한국항공대 2011학년도 수시 이학계열 1번 · mathesis.kr/archive/kau/2011su/ihak_1

[문제 1-1]

교점 O에서 각 꼭짓점까지의 거리와 수선 DE, BF를 표시한 사각형

(1) 선분 AC와 선분 BD의 교점을 O라고 하자.

+3점 · [문제 1-1] ① 점 B, D\displaystyle B,\ D에서 각각 AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}에 수선의 발을 내리고 F, E\displaystyle F,\ E라고 하자.

그림과 같이 점 D에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 E라 하고 점 B에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 F라 하자.

선분 AO의 길이를 x\displaystyle x라 하면, 선분 OC의 길이는 p−x\displaystyle p-x이다.

선분 DO의 길이를 y\displaystyle y라 하면, 선분 OB의 길이는 q−y\displaystyle q-y이다.

선분 DO는 직각삼각형 DOE의 빗변이므로 선분 DE의 길이는 ysin⁡θ\displaystyle y\sin\theta이다.

+5점 · [문제 1-1] ③ BF‾=BO‾sin⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{BF}}=\overline{\mathrm{BO}}\sin\theta, DE‾=DO‾sin⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}=\overline{\mathrm{DO}}\sin\theta

선분 BO는 직각삼각형 BOF의 빗변이므로 선분 BF의 길이는 (q−y)sin⁡θ\displaystyle (q-y)\sin\theta 이다(∠BOF\displaystyle \angle\mathrm{BOF}와 ∠DOE\displaystyle \angle\mathrm{DOE}는 맞꼭지각으로 같다).

+4점 · [문제 1-1] ② 사각형 ABCD\displaystyle \mathrm{ABCD}는 12AC‾(BF‾+DE‾)\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{AC}}\left(\overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{DE}}\right)

(i) 삼각형 DOC의 면적 = (선분 OC의 길이)×(선분 DE의 길이)/2=(p−x)ysin⁡θ/2\displaystyle (p-x)y\sin\theta/2(ii) 삼각형 DAO의 면적 = (선분 AO의 길이)×(선분 DE의 길이)/2=xysin⁡θ/2\displaystyle xy\sin\theta/2(iii) 삼각형 ABO의 면적 = (선분 AO의 길이)×(선분 BF의 길이)/2=x(q−y)sin⁡θ/2\displaystyle x(q-y)\sin\theta/2(iv) 삼각형 OBC의 면적 = (선분 OC의 길이)×(선분 BF의 길이)/2=(p−x)(q−y)sin⁡θ/2\displaystyle (p-x)(q-y)\sin\theta/2

+3점 · [문제 1-1] ④ 대입하여 정리하면 S=12pqsin⁡θ\displaystyle S=\frac12 pq\sin\theta

그러므로, 사각형 ABCD의 면적 = (i) + (ii) + (iii) + (iv) = pqsin⁡θ/2\displaystyle pq\sin\theta/2

(2) S\displaystyle S 에 주어진 면적이 pq/4\displaystyle pq/4 이므로 pq/4=pqsin⁡θ2\displaystyle pq/4=\frac{pq\sin\theta}{2}이다.Correction. 「2011학년도 항공대 수시논술 1차 해설」 PDF의 정상 표기에 따라 q\displaystyle q로 실었다. 「2011학년도 항공대 수시1차 논술 문제 및 해설 (공통)」 HWP의 예시답안 [1-1] (2)에는 분자의 q\displaystyle q가 g\displaystyle g로 잘못 적혀 있다.

+5점 · [문제 1-1] ⑤ S=pg4\displaystyle S=\frac{pg}{4}에서 sin⁡θ=12\displaystyle \sin\theta=\frac12이므로 θ=30∘\displaystyle \theta=30^\circ

sin⁡θ=12\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{2} 0≤θ≤90∘\displaystyle 0\leq\theta\leq90^{\circ} 이므로 θ=30∘\displaystyle \theta=30^{\circ}또는 π/6\displaystyle \pi/6 이다.

[문제 1-2]

사다리꼴의 변 BC를 E까지 연장하고 EA와 BD를 평행하게 그린 보조선
+5점 · [문제 1-2] ① 선분 BD와 평행하게 선분 EA(점 E는 선분 BC의 연장선 위에 있다)를 긋는다.

그림과 같이 선분 BD와 평행하게 선분 EA(점 E는 선분 BC의 연장선 위에 있다)를 만들면 사각형 AEBD는 평행사변형이 된다. 그러므로, 선분 EA의 길이=선분 BD의 길이=m\displaystyle m

점 A에서 선분 EC에 내린 수선의 발을 F라 하면,∠AFE=90∘\displaystyle \angle\mathrm{AFE}=90^{\circ}이고 선분 AF의 길이=h\displaystyle h 이다.

직각삼각형 AFE에 피타고라스 정리를 적용하면, 선분 EF의 길이 = m2−h2\displaystyle \sqrt{m^2-h^2}( <그림4>에 주어진 사다리꼴 ABCD에서 대각선의 길이가 높이보다 크기 때문에 m>h\displaystyle m>h이다. ) 선분 EA와 선분 BD가 평행하므로 동위각으로 ∠EAC=∠BOC\displaystyle \angle\mathrm{EAC}=\angle\mathrm{BOC} (=90∘\displaystyle =90^{\circ}) 이다.

그러므로 삼각형 EAC는 직각삼각형이 된다. 직각삼각형 EAC와 직각삼각형 EFA에서 대응하는 세 각이 같다(∵ ∠AEF=∠CEA\displaystyle \angle\mathrm{AEF}=\angle\mathrm{CEA}, ∠EFA=∠EAC=90∘\displaystyle \angle\mathrm{EFA}=\angle\mathrm{EAC}=90^{\circ}).

그러므로, 직각삼각형 EAC과 직각삼각형 EFA는 닮음인 두 도형이다.

닮음 도형인 직각삼각형 EAC와 직각삼각형 EFA에 비례식을 이용하면

+5점 · [문제 1-2] ③ AC‾=mhm2−h2\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\frac{mh}{\sqrt{m^2-h^2}}

EA‾:AC‾=EF‾:FA‾⇒m:AC‾=m2−h2:h\displaystyle \overline{\mathrm{EA}}:\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{EF}}:\overline{\mathrm{FA}}\Rightarrow m:\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{m^2-h^2}:h에서 AC‾=mhm2−h2\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\frac{mh}{\sqrt{m^2-h^2}}이다.

위의 [문제 1] (1)번의 결과를 이용하여

+5점 · [문제 1-2] ② R=12×AC‾×BD‾×sin⁡(π/2)\displaystyle R=\frac12\times\overline{\mathrm{AC}}\times\overline{\mathrm{BD}}\times\sin\left(\pi/2\right)
+5점 · [문제 1-2] ④ R=m2h2m2−h2\displaystyle R=\frac{m^2h}{2\sqrt{m^2-h^2}}

R=12×AC‾×BD‾×sin⁡(π/2)=m2h2m2−h2\displaystyle R=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\overline{\mathrm{BD}}\times\sin(\pi/2)=\frac{m^2h}{2\sqrt{m^2-h^2}}

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