이학계열 2번

한국항공대 2016학년도 수시 이학계열 2번 · mathesis.kr/archive/kau/2016su/ihak_2

【문제 2】 (40점)

※ 다음 제시문을 읽고 답하시오

가) 공항에서 승객소지품을 검사하는 보안검색장비는 두 가지 기능, 즉 총기류 검색기능과 폭발물 검색기능을 수행한다. 새로운 여객터미널을 건설 중인 △△공항에서는 시간당 100명의 승객을 처리할 수 있는 보안검색시스템의 구축을 목표로 <그림 2-1>과 같은 3가지 설계안을 고려하고 있다.

각 설계안의 특징은 다음과 같다.

설계안 A: 검색장비의 기능이 분리된 형태로 검색장비 a-1 (총기류 검색)과 검색장비 a-2 (폭발물 검색)가 직렬로 연결된 형태이며 각각의 시간당 처리율은 100(명/시간)이다.

설계안 B: 검색장비 b는 첨단 검색장비로 총기류와 폭발물의 동시검색이 가능하다. 시간당 처리율은 100(명/시간)이며, 검색장비에 고장이 발생할 경우를 대비하여 예비 검색장비 1대를 추가 배치한다.

설계안 C: 검색장비 c는 첨단 검색장비로 총기류와 폭발물의 동시검색이 가능하다. 시간당 처리율은 50(명/시간)으로, 2대를 병렬로 배치하였으며, 검색장비에 고장이 발생할 경우를 대비하여 예비 검색장비 1대를 추가 배치한다.

보안검색시스템의 신뢰성은 목표처리율(즉, 100명/시간)을 달성할 확률로 정의되고, 각 검색장비(즉, 검색장비 a-1, a-2, b, c)에 고장이 발생할 확률은 0.1(즉 10%)로 동일하다. 공항 운영진은 검색장비의 고장상황에 따른 손실비용(승객지연, 상업시설 매출액 감소, 공항인지도 저하 등)을 경험적으로 알고 있으며, 그 내용은 <표 2-1>과 같다.

나) 일렬주차로 설계된 길이 $\displaystyle 2\,\mathrm{km}$ 의 한강변 주차장은 총 500대의 주차면을 가지고 있으며, 현재 총 500대의 차량이 주차되어 만차인 상태이다. 이 때 한 차량이 주차장에 진입하여, 아래의 두 가지 방법 가운데 어느 방법을 선택하여 주차공간을 찾을 것인가 고민하고 있다.

방법 1: 주차장 중앙(즉, $\displaystyle 1\,\mathrm{km}$ 지점)에서 정지하고 기다리는 방법

방법 2: 같은 속력으로 주차장의 양 끝점을 지속적으로 왕복하여 움직이는 방법

이 때, 주차된 각 차량이 첫 번째로 출발하게 될 확률은 동일하며, 두 대 이상의 차량이 동시에 출발하는 경우는 없다고 가정한다. 또한 주차하려는 차량의 위치와 출발하는 차량의 위치는 구간 $\displaystyle [0,2]$ 에서 연속확률변수 $\displaystyle X$ 와 $\displaystyle Y$ 로 각각 정의된다고 가정한다.

[문제 2-1] 제시문 가)의 설계안 A, B, C의 신뢰성을 각각 구하고, 이를 근거로 신뢰성이 가장 높은 설계안을 결정하시오.

[문제 2-2] 제시문 가)에서 공항 운영진은 최신의 통합 검색기능이 적용된 설계안 B와 C 가운데 하나를 선정하기로 결정하였다. 아울러, 선정을 위한 기준으로, 구축비용과 손실비용을 포함한 총비용을 적용하기로 하였다.

검색장비 b와 c의 대당 구축비용은 각각 1.5(억원/대), 1(억원/대)이다. <표 2-1>에 제시된 고장상황별 손실비용을 고려하여 설계안 B와 C의 총비용(=구축비용+손실비용)의 기댓값을 구하고, 이를 근거로 총비용의 기댓값이 더 낮은 설계안을 결정하시오.

[문제 2-3] 제시문 나)의 방법 1과 2에 대해, 주차하려는 차량과 첫 번째 발생하는 주차공간의 거리가 $\displaystyle 0.2\,\mathrm{km}$ 이내일 확률을 각각 구하시오

해설강의 준비중

한국항공대 2016학년도 수시 이학계열 2번 · mathesis.kr/archive/kau/2016su/ihak_2

[문제 2-1]

+10점 · 신뢰성

설계안 A,B,C가 목표를 달성하지 못할 확률 $\displaystyle P(F_A),P(F_B),P(F_C)$ 를 구하고, 이를 토대로 각 설계안의 신뢰성 $\displaystyle 1-P(F_A),1-P(F_B),1-P(F_C)$ 을 계산한다.각 설계안의 시간당 처리율을 $\displaystyle Q$ 라 하면, $\displaystyle Q\in\{0,50,100\}$ 으로 정의된다. $\displaystyle Q$ 를 이용하여 $\displaystyle P(F_A),P(F_B),P(F_C)$ 를 계산하면 다음과 같다. 이때 (주어진 조건에 의해) 각 검색장비 a-1, a-2, b, c에 고장이 발생할 확률은 $\displaystyle P(F_{a-1})=P(F_{a-2})=P(F_b)=P(F_c)=0.1$ 로 동일하다. $\displaystyle P(F_A)=P(Q=0)$ $\displaystyle =P(F_{a-1}\cup F_{a-2})$ $\displaystyle =P(F_{a-1})+P(F_{a-2})-P(F_{a-1}\cap F_{a-2})$ $\displaystyle =P(F_{a-1})+P(F_{a-2})-P(F_{a-1})\times P(F_{a-2})$ $\displaystyle =0.1+0.1-(0.1)(0.1)=0.19$ $\displaystyle P(F_B)=P(Q=0)$ $\displaystyle =P(F_b\cap F_b)=P(F_b)\times P(F_b)$ $\displaystyle =(0.1)(0.1)=0.01$ $\displaystyle P(F_C)=P(Q=0)+P(Q=50)$ $\displaystyle =0.001+0.027=0.028$ 여기서, $\displaystyle P(Q=0)=P(F_c)\times P(F_c)\times P(F_c)$ $\displaystyle =(0.1)(0.1)(0.1)=0.001$ $\displaystyle P(Q=50)=3\times P(F_c\cap F_c\cap F_c^c)$ $\displaystyle =3\times P(F_c)\times P(F_c)\times(1-P(F_c))$ $\displaystyle =3(0.1)(0.1)(1-0.1)=0.027$ 설계안 A의 신뢰성 $\displaystyle =1-P(F_A)=1-0.19=0.81$ 설계안 B의 신뢰성 $\displaystyle =1-P(F_B)=1-0.001=0.999$ Correction. 설계안 B의 고장확률은 $\displaystyle 0.01$ 이므로 신뢰성은 $\displaystyle 1-0.01=0.99$ 이다. 대학 답안의 $\displaystyle 0.001$ 과 $\displaystyle 0.999$ 는 각각 $\displaystyle 0.01$ 과 $\displaystyle 0.99$ 의 오기이다. 또한 서로 다른 두 장비의 고장 사건을 $\displaystyle F_{b_1}$ , $\displaystyle F_{b_2}$ 로 구별하면, $\displaystyle F_b\cap F_b$ 는 $\displaystyle F_{b_1}\cap F_{b_2}$ 로 적어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.설계안 C의 신뢰성 $\displaystyle =1-P(F_C)=1-0.028=0.972$ 따라서, 가장 신뢰성이 높은 설계는 설계안 B 이다.

[문제 2-2]

설계안 B의 상황별 총비용

설계안 B의 총비용 기대값 $\displaystyle =23(0.01)+4(0)+3(0.99)=3.2$ (억원)

설계안 C의 상황별 총비용

설계안 C의 총비용 기대값 $\displaystyle =23(0.001)+4(0.027)+3(0.972)$

$\displaystyle =0.023+0.108+2.916=3.047$ (억원)

+10점 · 총비용의 기댓값

설계안 B의 총비용 기대값 $\displaystyle >$ 설계안 C의 총비용 기댓값, $\displaystyle \therefore$ 설계안 C 선택

[문제 2-3]

확률변수 $\displaystyle D$ : 주차하려는 차량과 출발하는 차량의 거리 $\displaystyle =|X-Y|$

1) $\displaystyle 1\,\mathrm{km}$ 지점에 정지하는 하는 경우

+5점 · 정지하는 경우

표본공간: $\displaystyle X=1,\ 0\leq Y\leq2$ $\displaystyle P(D\leq0.2)=P(|X-Y|\leq0.2)$ $\displaystyle =P(|1-Y|\leq0.2)=P(0.8\leq Y\leq1.2)=0.2$

2) 왕복하는 경우

+10점 · 왕복하는 경우

Correction. 문제 2의 배점은 문제지에서 40점, 해설과 채점기준에서 35점으로 제시되어 있다. 시험 전체 배점의 합은 문제지에서 100점, 해설에서 110점이므로 총점 100점인 문제지의 배점이 맞을 가능성이 높다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

표본공간: $\displaystyle 0\leq X\leq2,\ 0\leq Y\leq2$ $\displaystyle P(D<0.2)=P(|X-Y|\leq0.2)$ = 그림의 빗금친 부분 면적/전체면적 $\displaystyle =$ (전체면적 − $\displaystyle 2\times$ 아래 삼각형 면적) / 전체면적 $\displaystyle =\{4-2(0.5)(2-0.2)^2\}/4$ $\displaystyle =(4-3.24)/4=0.76/4=0.19$

[문제 2-1] 계산과정과 결과의 정확성을 기준으로 채점. 설계안 A의 신뢰성이 정답이 아닌 경우 -3점, B는 -2점, C는 -5점.

[문제 2-2] 계산과정과 결과의 정확성을 기준으로 채점. 각 설계안의 수식은 맞고 정답이 아닌 경우 -3점.

[문제 2-3] 확률변수의 정의 및 계산과정, 결과의 정확성을 기준으로 채점. 타당한 설명을 제시하지 않고 없이 수자로 답만 구한 경우 -5점. 정지하는 경우 정답이 아닌 경우 -5점. 왕복하는 경우 계산오차 -5점.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.