공학계열 1번

음원과 측정기 간 거리 l을 구하기 위해 두 좌표 사이의 거리를 구하는 공식에 대입하여 아래와 같은 수식으로 올바르게 유도했으면 부분점수 3점 부여함.$\displaystyle l(t)=\sqrt{[\cos t-(-1)]^2+[\sin t-(-1)]^2}$$\displaystyle =\sqrt{\cos^2t+\sin^2t+2(\cos t+\sin t)+2}$$\displaystyle =\sqrt{2(\cos t+\sin t)+3}$

거리 l(t)의 t에 대한 변화율을 구하기 위해 아래와 같이 l(t)를 올바르게 미분했으면 부분점수 5점 부여함.$\displaystyle \frac{dl}{dt}=p(t)=\frac{2(-\sin t+\cos t)}{2\sqrt{2(\cos t+\sin t)+3}}$$\displaystyle =\frac{\cos t-\sin t}{\sqrt{2(\cos t+\sin t)+3}}$

문제에서 주어진 $\displaystyle f_0=340$과 위에서 구한 $\displaystyle p(t)$를 측정기가 이동하는 경우의 도플러 효과와 관계된 식 $\displaystyle f=\frac{340-p}{340}f_0$에 대입했으면 2점 부여함.$\displaystyle f=\frac{340-p}{340}\times340=340-p$$\displaystyle =340+\frac{\sin t-\cos t}{\sqrt{2(\cos t+\sin t)+3}}$

$\displaystyle (\cos t,\sin t)$로 주어진 측정기의 이동 궤적은 좌표평면에서 반지름이 1인 원이다. 음원의 좌표 $\displaystyle (-1,-1)$과 원의 중심을 모두 지나는 직선과 x축이 이루는 각도는 $\displaystyle \frac\pi4$이다. 또한 이 직선과 원이 만나는 두 교점 중 좌표 $\displaystyle (-1,-1)$에 더 가까운 교점이 음원과 측정기 간 거리가 가장 짧은 지점(=가까운 지점)이며, 이 위치는 $\displaystyle \left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)$이다. 한편 두 교점 중 좌표 $\displaystyle (-1,-1)$에서 더 먼 교점이 음원과 측정기 간 거리가 가장 긴 지점(=먼 지점)이며, 이 위치는 $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)$이다.

$\displaystyle \left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)$에 이르는 시간은 $\displaystyle t=2n\pi+\frac{5\pi}4\ (n=0,1,2,3,\ldots)$이므로, $\displaystyle t=\frac{5\pi}4$초가 처음으로 가장 가까운 지점을 통과하는 시간이며, 이 때 진동수는 $\displaystyle f(t)$에 $\displaystyle t=\frac{5\pi}4$를 대입한 값, $\displaystyle 340+0=340\,\mathrm{Hz}$이다.$\displaystyle \left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)$에 이르는 시간은 $\displaystyle t=2n\pi+\frac\pi4\ (n=0,1,2,3,\ldots)$이므로, $\displaystyle t=\frac\pi4$가 처음으로 가장 먼 지점을 통과하는 시간이며, 이 때 진동수는 $\displaystyle f(t)$에 $\displaystyle t=\frac\pi4$초를 대입한 값, $\displaystyle 340+0=340\,\mathrm{Hz}$이다.

문제 1-1에서 구한 $\displaystyle f(t)=340+\frac{\sin t-\cos t}{\sqrt{2(\cos t+\sin t)+3}}$를 아래와 같이 미분한다.$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{\begin{gathered}(\cos t+\sin t)\sqrt{2(\cos t+\sin t)+3}\\-\frac{(\sin t-\cos t)(-\sin t+\cos t)}{\sqrt{2(\cos t+\sin t)+3}}\end{gathered}}{2(\cos t+\sin t)+3}$$\displaystyle =\frac{\begin{gathered}(\cos t+\sin t)(2(\cos t+\sin t)+3)\\+(\sin t-\cos t)^2\end{gathered}}{[2(\cos t+\sin t)+3]^{3/2}}$$\displaystyle =\frac{\begin{gathered}2(\cos t+\sin t)^2+3(\cos t+\sin t)\\+(\sin t-\cos t)^2\end{gathered}}{[2(\cos t+\sin t)+3]^{3/2}}$$\displaystyle =\frac{3+2\sin t\cos t+3(\cos t+\sin t)}{[2(\cos t+\sin t)+3]^{3/2}}$

도함수를 다음과 같이 추가적으로 전개한다.$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{3+2\sin t\cos t+3(\cos t+\sin t)}{[2(\cos t+\sin t)+3]^{3/2}}$$\displaystyle =\frac{1+2\sin t\cos t+3(\cos t+\sin t)+2}{[2(\cos t+\sin t)+3]^{3/2}}$$\displaystyle =\frac{(\cos t+\sin t)^2+3(\cos t+\sin t)+2}{[2(\cos t+\sin t)+3]^{3/2}}$$\displaystyle =\frac{(\cos t+\sin t+1)(\cos t+\sin t+2)}{[2(\cos t+\sin t)+3]^{3/2}}$$\displaystyle f(t)$의 극값이 나타나는 t는 $\displaystyle \frac{df}{dt}=0$을 만족하는 t인데, 식의 분모는 모든 t에 대해 0보다 크고, 분자의 인수 중 $\displaystyle \cos t+\sin t+2$는 0이 될 수 없으므로,$\displaystyle \cos t+\sin t+1=0$ 즉, $\displaystyle \cos t+\sin t=-1$(인수분해 대신 그 전에 $\displaystyle \cos t+\sin t=x$로 치환하고, 이차방정식 근의 공식을 사용해도 됨)을 만족하는 t를 찾으면 $\displaystyle t=2n\pi+\pi$ 또는 $\displaystyle 2n\pi+\frac{3\pi}2\ (n=0,1,2,3,\ldots)$ 이다.또는 $\displaystyle \cos t+\sin t+1=\sqrt2\sin\left(t+\frac\pi4\right)+1=0$ 즉, $\displaystyle \sin\left(t+\frac\pi4\right)=-\frac1{\sqrt2}$인 t를 찾아도 동일한 답이 유도됨.

$\displaystyle f(t)$는 주기가 $\displaystyle 2\pi$인 주기함수이므로 극댓값이 최댓값이고, 극솟값이 최솟값이다.$\displaystyle 0\leq t<\pi$에서 $\displaystyle \frac{df}{dt}>0$이고, $\displaystyle \pi<t<\frac{3\pi}2$에서 $\displaystyle \frac{df}{dt}<0$이므로 $\displaystyle t=\pi$초가 처음으로 극댓값 즉, 최댓값이 나타나는 시간이다.$\displaystyle \pi<t<\frac{3\pi}2$에서 $\displaystyle \frac{df}{dt}<0$이고, $\displaystyle \frac{3\pi}2<t<3\pi$에서 $\displaystyle \frac{df}{dt}>0$이므로 $\displaystyle t=\frac{3\pi}2$초가 처음으로 극솟값 즉, 최솟값이 나타나는 시간이다.최댓값은 $\displaystyle f(t)$에 $\displaystyle t=\pi$를 대입했을 때의 값, $\displaystyle 340+1=341\,\mathrm{Hz}$이다.최솟값은 $\displaystyle f(t)$에 $\displaystyle t=\frac{3\pi}2$를 대입했을 때의 값, $\displaystyle 340-1=339\,\mathrm{Hz}$이다.