자연계열 1번

<논제 I-1>

(1) 공이 바닥과 충돌할 때, 지면에 평행한 속도성분 $\displaystyle v_{x}$는 변하지 않고 $\displaystyle 0.5 {\mathrm{m} / \mathrm{s}}$로 유지된다. 즉, 충돌 직전/직후의 지면에 평행한 속도성분을 $\displaystyle v_{x , i}$, $\displaystyle v_{x , f}$라 하면,

$\displaystyle v_{x , i} = v_{x , f} = 0.5 {\mathrm{m} / \mathrm{s}}$

그러나 수직 방향 성분, 즉 충돌 방향의 운동에너지는 충돌시 공의 탄성에너지로 변환되는 과정에서 일부가 열에너지로 손실되고, 농구공의 경우 그 비율은 0.81이다. 따라서 농구공의 질량을 $\displaystyle m$, 충돌 직전/직후의 수직 방향 속도 성분을 $\displaystyle v_{y , i}$, $\displaystyle v_{y , f}$라 하면, 충돌 전후의 운동 에너지의 비율은Correction. $\displaystyle 0.81$은 충돌 후 남아 있는 운동 에너지의 비율이다. 손실된 비율은 $\displaystyle 1-0.81=0.19$이므로, 이 문장의 “손실” 비율이라는 설명은 맞지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle 0.81 = {\frac{{\frac{1}{2} m v_{y , f}^{2}}}{\frac{1}{2} m v_{y , i}^{2}}} = \left( \frac{v_{y , f}}{v_{y , i}} \right)^{2}$

이 되고, 따라서

$\displaystyle v_{y , f} = - 0.9 v_{y , i}$

이다. 여기서 (-)부호는 운동방향이 바뀌었음을 의미한다.

(2)

(가) 공이 던져진 순간부터 첫째 충돌까지의 운동:

첫 낙하에서 걸리는 시간은 중력에 의한 등가속도 운동식으로부터

$\displaystyle h=\frac12gt_0^2\to t_0=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(20\mathrm m)}{10\mathrm m/\mathrm s^2}}=2\mathrm s$ (2초)

이고, 첫 충돌시 충돌 직전 수직 속력 성분은 등가속도 운동식으로부터 $\displaystyle v_{y 0} = g t_{0} = ( 10 {\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}} ) ( 2 {\mathrm{s}} ) = 20 {\mathrm{m} / \mathrm{s}}$이다. 이 속력성분은 역학적 에너지 보존으로부터 구할 수도 있다.

$\displaystyle m g h = \frac{1}{2} m v_{y 0}^{2} \to v_{y 0} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 ( 10 {\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}} ) ( 20 {\mathrm{m}} )} = 20 {\mathrm{m} / \mathrm{s}}$

(나) $\displaystyle n$번째 충돌과 $\displaystyle ( n + 1 )$번째 충돌사이의 운동$\displaystyle ( n = 1 , 2 , \ldots )$:

(1)의 풀이에 따르면 $\displaystyle n$번째 충돌 직후 수직 방향 속력 성분은

$\displaystyle v_{y , n} = 0.9 v_{y , n - 1} = 0.9^{2} v_{y , n - 2} = \cdots = 0.9^{n} v_{y , 0} = 0.9^{n} \cdot 20 {\mathrm{m} / \mathrm{s}}$

이다. 충돌 후 위로 올라가 중력에 의해 결국 멈출 때까지 걸리는 시간과 그 이후 낙하하여 그 다음 충돌에 이를 때까지 걸리는 시간은 동일하므로, 두 충돌 사이 시간간격 $\displaystyle t_{n}$은

$\displaystyle 0=v_{y,n}-g\frac{t_n}{2}\to t_n=\frac{2v_{y,n}}g=\frac{2\cdot0.9^n\cdot20\mathrm m/\mathrm s}{10\mathrm m/\mathrm s^2}=4\cdot0.9^n\mathrm s$ ($\displaystyle 4\cdot0.9^n$초)

이다.

(다) 따라서 수직 방향 운동이 멈출 때까지 걸리는 시간 $\displaystyle T$는 등비수열 합의 공식을 이용하여

$\displaystyle T=t_0+t_1+t_2+\cdots=\left(2+4\sum_{n=1}^\infty0.9^n\right)\mathrm s$ (초) $\displaystyle =\left(2+\frac{4\cdot0.9}{1-0.9}\right)\mathrm s$ (초) $\displaystyle =38\mathrm s$ (38초)

이다. 이 시간 동안 지면에 수직한 방향의 속도는 일정하므로, 지면 방향으로는Correction. “지면에 수직한 방향”은 “지면에 평행한 방향”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle v_{x} T = ( 0.5 {\mathrm{m} / \mathrm{s}} ) ( 38 {\mathrm{s}} ) = 19 {\mathrm{m}}$

만큼 이동하였다.

(3)

(가) 실제상황에서 무한 충돌이 발생하지 않는 이유:

실제 상황에서 농구공과 지면의 무한 충돌이 발생하지 않는 이유는 농구공이 유한한 크기를 가지고 있고, 이로 인해 농구공과 바닥의 충돌이 순간적으로 이뤄지지 않고 어느 정도의 시간을 필요로 하기 때문이다. 즉, 농구공이 바닥과 충돌하면서 농구공이 수축하고 복원력에 의해 다시 팽창하기까지 유한한 시간 $\displaystyle t_{\mathrm{c}} ( > 0 )$가 걸린다. 따라서 무한 충돌 가정에 의해 구한, $\displaystyle n$번째와 $\displaystyle n + 1$번째 충돌 사이 시간간격 $\displaystyle t_{n}$이 충돌 진행 시간 $\displaystyle t_{\mathrm{c}}$보다 작아지면, 사실상 시간간격 $\displaystyle t_{n}$동안 농구공은 지면에서 떨어지지 않는다. 따라서 그때부터 농구공은 다시 지면으로부터 튕기지 않는다.

농구공의 회전운동은 무한 충돌과 상관이 없다. 단지 에너지의 일부가 농구공의 회전에너지로 전환되면, 충돌 사이의 시간 간격 또는 충돌 사이 튕겨 올라간 거리가 줄어들 뿐이다.

농구공과 공기(또는 지면)의 마찰 또한 그 자체가 무한 충돌을 없애지 않는다. 다만 회전운동의 효과와 마찬가지로 농구공의 에너지 일부가 공기와의 마찰로 열에너지로 감소하여 충돌 사이 시간 간격이나 충돌 사이 높이만이 줄어들 뿐이다.

(나) 무한 충돌 예측의 유효성

예를 들어 $\displaystyle t_{\mathrm{c}} = 0.1 {\mathrm{s}}$라 하면, 충돌은 $\displaystyle t_{n} = 4 \cdot 0.9^{n} {\mathrm{s}} = t_{c}$, 대략 $\displaystyle n = n_{\mathrm{c}} \approx 35$번째에서 멈춘다. 따라서 무한 충돌 예측과 실제 충돌 사이의 시간 오차는

$\displaystyle \Delta T\approx\sum_{n=n_{\mathrm c}}^\infty\mathrm t_{\mathrm n}=\frac{4\cdot0.9^{\mathrm n_{\mathrm c}}}{1-0.9}\mathrm s$

로, 무한 충돌 가정에 의한 예측 시간에 비해

$\displaystyle \frac{\Delta T}{T}=\frac{\frac{4\cdot0.9^{35}}{1-0.9}}{2+\frac{4\cdot0.9}{1-0.9}}\approx\frac1{38}=0.026$

으로 매우 작다. 임의의 충돌시간에 대해서 $\displaystyle t_{n_{\mathrm{c}}} = \mathrm{t}_{\mathrm{c}}$로부터, 시간 오차는

$\displaystyle \Delta T\approx\sum_{n=n_{\mathrm c}}^\infty t_n=\frac{t_{\mathrm c}}{1-0.9}$

이므로,

$\displaystyle \frac{\Delta T}{T}\approx\frac{\frac{t_{\mathrm c}}{1-0.9}}{2+\frac{4\cdot0.9}{1-0.9}}=\frac{t_{\mathrm c}}{3.8}$

가 되어, 공과 지면의 충돌진행시간이 충분히 작으면, 다시 말해 공의 탄성이 매우 좋아 짧은 시간 내에 충돌이 이루어지면, 무한 충돌 예측은 실제 관측 결과와 거의 오차가 없다고 할 수 있다.

이렇듯이 오차가 작은 이유는 충돌 사이의 시간 간격이 등비수열로 주어져 $\displaystyle t_{n}$의 $\displaystyle n = 1$부터 $\displaystyle n = n_{\mathrm{c}} - 1$까지의 합이 $\displaystyle n = n_{\mathrm{c}}$부터 $\displaystyle n = \infty$까지의 합에 비해 대략적으로

$\displaystyle \frac{t_{n_{c}}}{t_{0}} = 0.9^{n_{c}}$

의 비율만큼 작기 때문이다. 즉, 시간간격이 등비수열로 일정한 비율로 줄어들기 때문이다.Comment. 원문은 두 합의 크기를 반대로 비교했다. $\displaystyle n_{\mathrm c}$부터의 나머지 합을 앞부분의 합으로 나눈 값은 $\displaystyle \frac{0.9^{n_{\mathrm c}-1}}{1-0.9^{n_{\mathrm c}-1}}$이다. 또한 $\displaystyle t_0=2$, $\displaystyle t_{n_{\mathrm c}}=4\cdot0.9^{n_{\mathrm c}}$이므로 $\displaystyle \frac{t_{n_{\mathrm c}}}{t_0}=2\cdot0.9^{n_{\mathrm c}}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<논제 I-2>

(1)

구리 도선과 구리 막대 내를 투과하는 자속은

$\displaystyle \Phi(t)=BA(t)=BLl(t)$

이고, 회로에 유도되는 유도 기전력의 크기는 패러데이 법칙에 의해서

$\displaystyle V(t)=\frac{d\Phi(t)}{dt}=BL\frac{dl(t)}{dt}=\frac{BL^2}{\tau}2(t/\tau-1)$

이고, 회로의 저항은 $\displaystyle R ( t ) = \rho ( 2 l ( t ) + 2 L )$이므로, 유도 기전력에 의한 유도 전류는

$\displaystyle i(t)=\frac{V(t)}{R(t)}=\frac{BL}{2\tau\rho}\frac{2(t/\tau-1)}{(t/\tau-1)^2+1}$

이다. 이때 유도 기전력과 유도 전류는 회로내 자속의 변화를 방해하는 방향으로 유도되어야 하므로, $\displaystyle t < \tau$에서는 자기장이 지면 뒷 방향으로 유도되도록 유도 전류는 시계방향으로 흐르고, $\displaystyle t > \tau$에서는 자기장이 지면 윗 방향으로 유도되도록 유도 전류는 반시계방향으로 흐른다.

이 때 저항에서는 단위시간 당

$\displaystyle P_R(t)=[i(t)]^2R(t)=\frac{V(t)^2}{R(t)}=\frac{B^2L^3}{2\tau^2\rho}\frac{(2(t/\tau-1))^2}{(t/\tau-1)^2+1}$

의 열에너지가 발생하는데, 이 에너지는 외부 전동 장치가 구리막대에 가한 역학적 일로부터 온다.

구리 막대에 유도 전류가 흐면 자기장 내에서 구리 막대는 플레밍의 왼손 법칙에 의해서 $\displaystyle t < \tau$에서는 오른쪽 방향으로, $\displaystyle t > \tau$에서는 왼쪽 방향으로 힘을 받는다. 따라서 외부 전동 장치는 자기장에 의한 힘의 반대 방향으로 각 시간 구간에서 왼쪽과 오른쪽으로 각각 힘을 가해야 하고, 그 힘의 크기는

$\displaystyle F(t)=BLi(t)=\frac{BLV(t)}{R(t)}=\frac{B^2L^2}{2\tau\rho}\frac{2(t/\tau-1)}{(t/\tau-1)^2+1}$

이다. 따라서 이 힘이 행하는 일률은

$\displaystyle P_M(t)=F(t)v(t)=\frac{BLV(t)}{R(t)}\frac{dl}{dt}=\frac{V(t)^2}{R(t)}=\frac{B^2L^3}{2\tau^2\rho}\frac{(2(t/\tau-1))^2}{(t/\tau-1)^2+1}$

이 되어, $\displaystyle P_{R} ( t ) = P_{M} ( t )$이므로, 저항에서 단위시간당 소모되는 열에너지와 같다. 따라서 외부에서 가해준 역학적 일이 그대로 전기에너지로 변환되어 저항에서 열에너지로 소모된다.

(2)

점 $\displaystyle ( x_{1} , f ( x_{1} ) )$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle L_{1}$은 $\displaystyle y - f ( x_{1} ) = f^{\prime} ( x_{1} ) ( x - x_{1} )$ 이므로 $\displaystyle L_{1}$의 $\displaystyle x$절편을 $\displaystyle x_{2}$라 하면

$\displaystyle x_{2} = x_{1} - \frac{{f ( x_{1} )}}{f^{\prime} ( x_{1} )}$

이다. 마찬가지로 점 $\displaystyle ( x_{2} , f ( x_{2} ) )$에서의 접선의 방정식 $\displaystyle L_{2}$은 $\displaystyle y - f ( x_{2} ) = f^{\prime} ( x_{2} ) ( x - x_{2} )$ 이므로 $\displaystyle L_{2}$의 $\displaystyle x$절편을 $\displaystyle x_{3}$라 하면

$\displaystyle x_{3} = x_{2} - \frac{{f ( x_{2} )}}{f^{\prime} ( x_{2} )}$

이다. 이 과정을 반복하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle x_{n + 1} = x_{n} - \frac{{f ( x_{n} )}}{f^{\prime} ( x_{n} )}$

(3)

유도전류가 반시계방향으로 $\displaystyle BL / 2 \tau \rho$로 흐를 때

$\displaystyle \frac{BL}{2\tau\rho}\frac{2(t/\tau-1)}{(t/\tau-1)^2+1}=\frac{BL}{2\tau\rho}$

으로, 이를 풀어쓰면,

$\displaystyle (t/\tau)^2-4(t/\tau)+4=0\to(t/\tau-2)^2=0$ 또는 $\displaystyle (t-\tau)^2=0$Correction. $\displaystyle (t-\tau)^2=0$은 $\displaystyle (t-2\tau)^2=0$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

가 된다. $\displaystyle x = t / \tau$로 변수 치환을 하고, 좌변을 함수 $\displaystyle f ( x )$로 잡으면,

$\displaystyle f ( x ) = ( x - 2 )^{2}$

을 얻어 $\displaystyle f ( x ) = 0$은 쉽게 풀리고 해는 $\displaystyle x_{0} = 2$로 유일하다. $\displaystyle x_{1}$을 $\displaystyle x_{1} \ne 2$인 임의의 값이라 하자. 그러면,

$\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 2 ( x - 2 )$

이므로 (2)에서 구한 관계식에 의하여

$\displaystyle \begin{aligned}x_{n+1}&=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}\\&=x_n-\frac{(x_n-2)^2}{2(x_n-2)}\\&=x_n-\frac{x_n-2}{2}\\&=\frac{x_n+2}{2}\quad\mathrm{or}\quad\frac12x_n+1\end{aligned}$

이다. 또한 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle x_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} ( x_{n} - 2 )$이므로 $\displaystyle \left| x_{n + 1} - 2 \right| = \frac{1}{2} \left| x_{n} - 2 \right|$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle 0 \le \frac{1}{2} < 1$ 이므로 제시문 [다]에 의하여 수열 $\displaystyle \left\{ x_{n} \right\}$은 해 $\displaystyle x_{0} = 2$로 수렴한다.