경희대 2011학년도 모의 자연계열 1번 해설

<논제 Ⅰ> 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

[가] 여러 물체로 이루어진 계(system)의 물리적 현상을 분석할 때 이 물체들 전체의 질량이 어떤 한 점에 집중되어 있는 것처럼 취급하면 편리할 때가 많다. 이 점을 그 계의 질량중심(또는 무게중심)이라 하는데, 특히 질량이 각각 $\displaystyle m_{1}$ , $\displaystyle m_{2}$ 인, 크기를 무시할 수 있는 두 개의 물체로 이루어진 계의 질량중심은 아래 그림처럼 두 물체를 연결하는 선분을 $\displaystyle m_{2} : m_{1}$ 으로 내분하는 위치에 있다. (즉, $\displaystyle \overline{x_{1} p} : \overline{p x_{2}} = m_{2} : m_{1}$ ) 이것은 두 물체를, 질량을 무시할 수 있는 막대로 연결할 경우 이 막대의 균형을 유지하게 하는 받침점의 위치와 같다.

질량이 각각 $\displaystyle m_{1}$ , $\displaystyle m_{2}$ , $\displaystyle m_{3}$ 인 세 개의 물체로 이루어진 계의 질량중심은, 먼저 질량이 $\displaystyle m_{1} + m_{2}$ 인 물체가 $\displaystyle m_{1}$ 과 $\displaystyle m_{2}$ 의 질량중심에 위치하는 것으로 생각하고 이 물체와 $\displaystyle m_{3}$ 와의 질량중심으로 구하여 전체 계의 질량중심을 구할 수 있다.

[나] 질량중심을 이용하여 다음의 벽돌쌓기 문제를 해결해 보자. 벽돌의 조성이 균질하다고 가정하면 그 질량중심은 벽돌의 한가운데에 위치할 것이고, 하나의 벽돌을 그림 (a)와 같이 책상의 모서리에서 가장 길게 내밀 수 있는 한계는 벽돌의 질량중심이 모서리와 같은 수직선상에 위치할 때이다. 그렇다면 동일한 벽돌 두 장을 쌓아서 모서리로부터 가장 길게 내밀려면 어떻게 해야 할까? 이 문제는 다음과 같은 순서로 생각해 볼 수 있다. 먼저 벽돌 $\displaystyle A_{1}$ 의 수평 위치를 유지한 채 벽돌 $\displaystyle A_{2}$ 를 그림 (b)처럼 놓는다. 그 다음 벽돌 $\displaystyle A_{1}$ 이 미끄러지지 않게 벽돌 $\displaystyle A_{2}$ 를 조심스럽게 모서리 쪽으로 밀면, 두 벽돌 전체의 질량중심이 모서리를 지나치지 않는 한 이 탑은 무너지지 않을 것이다. (그림 (c))

<논제 Ⅰ-1> 제시문 [가], [나]를 참조하여 다음의 질문에 답하시오.

(1) 제시문 [가]에서 두 물체의 직선 위의 위치를 각각 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ 라 할 때 질량중심의 위치 $\displaystyle \mathrm{p}$ 를 구하시오.

(2) 한 직선 위에 질량이 $\displaystyle m_{1}$ , $\displaystyle m_{2}$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle m_{k}$ 인 물체들이 각각 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle x_{k}$ 의 위치에 있을 때 물체들 전체의 질량중심을 제시문 [가]와 수학적 귀납법을 이용하여 구하시오.

(3) 제시문 [나]에서 벽돌 하나의 길이가 $\displaystyle 2$ 라면 그림 (c)처럼 $\displaystyle A_{1}$ 의 끝에서부터 책상 모서리까지의 수평 거리의 최댓값 $\displaystyle L_{2}$ 는 얼마인가?

(4) 제시문 [나]와 같은 방식으로 $\displaystyle \mathrm{k}$ 개의 벽돌을 쌓아 탑을 만들 때 꼭대기 벽돌의 끝에서부터 책상 모서리까지의 수평거리의 최댓값 $\displaystyle L_{\mathrm{k}}$ 를 구하여라.

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<논제 Ⅰ-1 예시 답안>

(1) $\displaystyle \overline{x_{1} p} : \overline{p x_{2}} = m_{2} : m_{1}$ 이고 $\displaystyle \overline{x_{1} p} = p - x_{1}$ , $\displaystyle \overline{p x_{2}} = x_{2} - p$ 이므로 $\displaystyle \frac{{p - x_{1}}}{x_{2} - p} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ 이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle p = \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}}{m_{1} + m_{2}}$ .

(2) 제시문 (가)에 따르면 세 물체 전체의 질량중심은, $\displaystyle \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}}{m_{1} + m_{2}}$ 에 위치한 질량 $\displaystyle m_{1} + m_{2}$ 의 물체와 $\displaystyle x_{3}$ 에 위치한 질량 $\displaystyle m_{3}$ 의 물체와의 질량중심이다. 즉, 세 물체 전체의 질량중심은

$\displaystyle \frac{{( m_{1} + m_{2} ) \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}}{m_{1} + m_{2}} + m_{3} x_{3}}}{( m_{1} + m_{2} ) + m_{3}}= \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$

이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{k}$ 개의 물체 전체의 질량중심은 $\displaystyle \frac{{m_{1} x_{1} + \cdots + m_{k} x_{k}}}{m_{1} + \cdots + m_{k}}$ 임을 추정할 수 있다. $\displaystyle \mathrm{k} + 1$ 개의 물체의 질량중심은, 앞의 $\displaystyle k$ 개의 물체 전체의 질량중심에 위치한 질량 $\displaystyle m_{1} + \cdots + m_{k}$ 의 물체와 $\displaystyle x_{k+1}$ 에 위치한 질량 $\displaystyle m_{k+1}$ 의 물체와의 질량중심이다. 즉, $\displaystyle \mathrm{k} + 1$ 개의 물체 전체의 질량중심은

$\displaystyle \frac{{( m_{1} + \cdots + m_{k} ) \frac{{m_{1} x_{1} + \cdots + m_{k} x_{k}}}{m_{1} + \cdots + m_{k}} + m_{k+1} x_{k+1}}}{( m_{1} + \cdots + m_{k} ) + m_{k+1}}= \frac{{m_{1} x_{1} + \cdots + m_{k+1} x_{k+1}}}{m_{1} + \cdots + m_{k+1}}$

이다. 이것은 질량중심의 추정값의 공식의 $\displaystyle \mathrm{k} + 1$ 개의 경우이므로 증명이 끝났다.

(3) 그림 (b)에서 $\displaystyle A_{1}$ , $\displaystyle A_{2}$ 의 중심의 위치를 각각 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ 라 하면 각 벽돌의 질량이 동일하므로 두 벽돌 전체의 질량중심은 $\displaystyle p = \frac{{x_{1} + x_{2}}}{2}$ 가 된다. 아래 그림을 참조하면 $\displaystyle A_{2}$ 를 $\displaystyle x_{1} - p$ 만큼 모서리쪽으로 밀 수 있다. $\displaystyle p$ 가 $\displaystyle x_{1}$ , $\displaystyle x_{2}$ 의 평균이므로 $\displaystyle x_{1} - p = \frac{1}{2}$ 가 되고 따라서 $\displaystyle L_{2} = L_{1} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$ 이다.

(4) 이 경우는 $\displaystyle A_{1}$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle A_{k-1}$ 전체의 질량중심이 위 그림의 $\displaystyle x_{1}$ 에 위치하고 있는 경우이다. 따라서 탑 전체의 질량중심은 $\displaystyle x_{1}$ 과 $\displaystyle x_{2}$ 를 연결하는 선분을 $\displaystyle 1 : k - 1$ 로 내분하는 점에 위치한다.

즉, $\displaystyle x_{1} - p = \frac{1}{k}$ 이므로 $\displaystyle L_{k} = L_{k-1} + \frac{1}{k}$ 이 된다. 따라서 $\displaystyle L_{k} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k}$ .

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