자연계열 1번

<논제 Ⅰ-1 예시 답안>

(1) $\displaystyle \overline{x_{1} p} : \overline{p x_{2}} = m_{2} : m_{1}$이고 $\displaystyle \overline{x_{1} p} = p - x_{1}$, $\displaystyle \overline{p x_{2}} = x_{2} - p$이므로 $\displaystyle \frac{{p - x_{1}}}{x_{2} - p} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle p = \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}}{m_{1} + m_{2}}$.

(2) 제시문 (가)에 따르면 세 물체 전체의 질량중심은, $\displaystyle \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}}{m_{1} + m_{2}}$에 위치한 질량 $\displaystyle m_{1} + m_{2}$의 물체와 $\displaystyle x_{3}$에 위치한 질량 $\displaystyle m_{3}$의 물체와의 질량중심이다. 즉, 세 물체 전체의 질량중심은

$\displaystyle \frac{{( m_{1} + m_{2} ) \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}}{m_{1} + m_{2}} + m_{3} x_{3}}}{( m_{1} + m_{2} ) + m_{3}}= \frac{{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$

이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{k}$개의 물체 전체의 질량중심은 $\displaystyle \frac{{m_{1} x_{1} + \cdots + m_{k} x_{k}}}{m_{1} + \cdots + m_{k}}$임을 추정할 수 있다. $\displaystyle \mathrm{k} + 1$개의 물체의 질량중심은, 앞의 $\displaystyle k$개의 물체 전체의 질량중심에 위치한 질량 $\displaystyle m_{1} + \cdots + m_{k}$의 물체와 $\displaystyle x_{k+1}$에 위치한 질량 $\displaystyle m_{k+1}$의 물체와의 질량중심이다. 즉, $\displaystyle \mathrm{k} + 1$개의 물체 전체의 질량중심은

$\displaystyle \frac{{( m_{1} + \cdots + m_{k} ) \frac{{m_{1} x_{1} + \cdots + m_{k} x_{k}}}{m_{1} + \cdots + m_{k}} + m_{k+1} x_{k+1}}}{( m_{1} + \cdots + m_{k} ) + m_{k+1}}= \frac{{m_{1} x_{1} + \cdots + m_{k+1} x_{k+1}}}{m_{1} + \cdots + m_{k+1}}$

이다. 이것은 질량중심의 추정값의 공식의 $\displaystyle \mathrm{k} + 1$개의 경우이므로 증명이 끝났다.

(3) 그림 (b)에서 $\displaystyle A_{1}$, $\displaystyle A_{2}$의 중심의 위치를 각각 $\displaystyle x_{1}$, $\displaystyle x_{2}$라 하면 각 벽돌의 질량이 동일하므로 두 벽돌 전체의 질량중심은 $\displaystyle p = \frac{{x_{1} + x_{2}}}{2}$가 된다. 아래 그림을 참조하면 $\displaystyle A_{2}$를 $\displaystyle x_{1} - p$만큼 모서리쪽으로 밀 수 있다. $\displaystyle p$가 $\displaystyle x_{1}$, $\displaystyle x_{2}$의 평균이므로 $\displaystyle x_{1} - p = \frac{1}{2}$가 되고 따라서 $\displaystyle L_{2} = L_{1} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$이다.

(4) 이 경우는 $\displaystyle A_{1}$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle A_{k-1}$ 전체의 질량중심이 위 그림의 $\displaystyle x_{1}$에 위치하고 있는 경우이다. 따라서 탑 전체의 질량중심은 $\displaystyle x_{1}$과 $\displaystyle x_{2}$를 연결하는 선분을 $\displaystyle 1 : k - 1$로 내분하는 점에 위치한다.

즉, $\displaystyle x_{1} - p = \frac{1}{k}$이므로 $\displaystyle L_{k} = L_{k-1} + \frac{1}{k}$이 된다. 따라서 $\displaystyle L_{k} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k}$.