자연계열 1번

<논제 I-1>

(1) 직교좌표계에서는 임의의 $\displaystyle x , y$를 좌표로 하는 점 $\displaystyle \left( x , y \right)$가 존재하나 무게중심 좌표는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이를 배분하여 결정되었으므로 항상 $\displaystyle u + v + w = m$ ($\displaystyle m$은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이)를 만족해야 한다. 따라서 임의의 $\displaystyle u , v , w$가 아니라 $\displaystyle u + v + w = m$를 만족하는 $\displaystyle u , v , w$에 대해서만 무게중심 좌표를 $\displaystyle \left( u , v , w \right)$로 하는 점이 존재한다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{PBC}$의 넓이는 고정된 밑변 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 길이와 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$까지의 거리에 의해 결정된다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PBC}$의 넓이인 $\displaystyle u$가 상수가 되기 위해서는 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 $\displaystyle \mathrm{BC}$까지의 거리가 상수이어야 하고 이러한 $\displaystyle \mathrm{P}$의 자취는 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$와 평행한 직선이다. 마찬가지 이유로 $\displaystyle v$가 상수인 점의 자취는 직선 $\displaystyle \mathrm{CA}$와 평행한 직선이고, $\displaystyle w$가 상수인 점의 자취는 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 평행한 직선이다.

(2) 한 번의 옮겨 담기 과정에서 세 컵 중 하나는 그 물의 양이 변하지 않으므로, 삼각형 ABC 위의 점이 움직이는 방향은 <그림 2>의 Q처럼 항상 삼각형의 한 변과 평행하다. 한편 어느 한 컵이 완전히 차있거나 비워진 상태는 <그림 2>의 굵은 선 위의 점에 대응된다. 따라서 논제 (2)의 조건으로 옮겨 담는 과정에서는 항상 굵은 선 위의 점으로 삼각형의 한 변과 평행하게 이동한다. 또한 어느 한 컵을 완전히 채우거나 비워야 하므로 한 굵은 선분 위에서 다른 굵은 선분 위로 이동해야 한다. (다만 이 조건이 두 선분의 교점으로 이동하는 경우도 포함하는 것에 유의) 굵은 선분 하나를 따라 이동할 때는 끝점으로 이동한다고 표현할 수도 있다.

옮겨 담기를 반복하여 어느 한 컵에 정확히 $\displaystyle 4 l$의 물을 담은 상태는 굵은 선 위의 점들 중에서 적어도 하나의 좌표가 4인 점 $\displaystyle \mathrm{R} \left( 4 , 4 , 0 \right) , \mathrm{S} \left( 0 , 4 , 4 \right) , \mathrm{T} \left( 4 , 0 , 4 \right)$에 대응 된다. 그런데 이들 세 점은 굵은 선분들의 교점에 위치하지 않으므로, 삼각형 ABC의 변과 평행하게 움직여 R, S, 또는 T에 도달하기 위해서는 삼각형 RST의 변 위에 초기 배분 상태에 대응되는 시작점이 있어야 한다. (삼각형 RST의 변과 삼각형 ABC의 변이 평행함에 유의) 즉, 처음부터 어느 한 컵에 정확히 $\displaystyle 4 l$의 물이 담겨 있어야 한다.