자연계열 1번

1. 상수함수와 지수함수는 $\displaystyle R$ 전체에서 미분가능하므로 $\displaystyle x\ne0$ 에서 $\displaystyle f$가 미분가능임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle x=0$ 에서 미분가능임을 밝혀야 한다.

$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}t=\lim_{t\to0}\frac{f(t)}t$

에서 주어진 조건으로부터

$\displaystyle \lim_{t\to-0}\frac{f(t)}t=\lim_{t\to0^-}\frac0t=0,$

$\displaystyle \lim_{t\to+0}\frac{f(t)}t=\lim_{t\to+0}\frac{e^{-1/t}}t=\lim_{t\to+0}\frac{1/t}{e^{1/t}}=\lim_{s\to\infty}\frac1{e^s}=0$

이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ 이 존재하고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이며. $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능이다.

2. 수학적 귀납법을 사용하자.

먼저 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$ 이므로 $\displaystyle f$ 의 $\displaystyle n-1$ 계 도함수 $\displaystyle f^{(n-1)}(x)$가 $\displaystyle f^{(n-1)}(0)=0$ 이라 가정하자. 다음으로

$\displaystyle f^{(n)}(0)=\lim_{t\to0}\frac{f^{(n-1)}(t)-f^{(n-1)}(0)}t=\lim_{t\to0}\frac{f^{(n-1)}(t)}t$

를 구하는 계산에 있어, $\displaystyle t<0$ 일 때는 $\displaystyle f^{(n-1)}(t)=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{t\to-0}\frac{f^{(n-1)}(t)}t=\lim_{t\to-0}\frac0t=0$ 이다. 다음으로 $\displaystyle t>0$ 일 때

$\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac1{t^2}e^{-1/t},$

$\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=\left(-\frac2{t^3}+\frac1{t^4}\right)e^{-1/t},$

...

$\displaystyle f^{(n-1)}(t)=P\left(\frac1t\right)e^{-1/t}$, ($\displaystyle P(t)$는 $\displaystyle t$의 다항식)

이 됨을 알 수 있다.

따라서 로피탈의 정리를 사용하면

$\displaystyle \lim_{t\to+0}\frac{f^{(n-1)}(t)}t=\lim_{t\to+0}\frac{P(1/t)e^{-1/t}}t=\lim_{s\to\infty}\frac{sP(s)}{e^s}=0$

이 됨을 알수 있다. 따라서 $\displaystyle f^{(n)}(0)=0$ 이다.

3. $\displaystyle f$ 의 정의를 사용하면 함수 $\displaystyle h$ 의 분모는 $\displaystyle 0$이 아니며, $\displaystyle f$가 미분가능한 함수이므로 함수 $\displaystyle h$가 미분가능임을 알 수 있다.

또한 $\displaystyle f\ge0$ 이므로 $\displaystyle 0\le h(x)\le1$ 이며,

$\displaystyle x\le0$ 에서 $\displaystyle f(x)=0$ 이므로 $\displaystyle h(x)=0$ 이다.

그리고 $\displaystyle x\ge1$ 에서는 $\displaystyle f(1-x)=0$ 이므로 $\displaystyle h(x)=1$ 이다.

또한 $\displaystyle 0\le x\le1$ 에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)\ge0$ 이므로, $\displaystyle h$ 의 그래프는

4. 함수 $\displaystyle h$ 가 미분가능하고 미분가능한 함수의 곱은 미분가능하므로 함수 $\displaystyle g$ 는 미분가능하다. 그리고 $\displaystyle |x|\ge a$ 에서 $\displaystyle g(x)=0$ 이 됨을 알수 있다. 또한 함수 $\displaystyle h$ 의 정의와 그래프 및 $\displaystyle g$를 이용하면 $\displaystyle |x|\ge b$ 에서 $\displaystyle g(x)=1$ 임을 알 수 있다. 따라서 함수 $\displaystyle g$ 의 그래프는Correction. $\displaystyle g(x)=1$인 구간을 적은 $\displaystyle |x|\ge b$는 $\displaystyle |x|\le b$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

실제로 $\displaystyle g$의 미분값을 조사해보면 구간 $\displaystyle (-\infty,-a)$, $\displaystyle (-b,b)$, $\displaystyle (a,\infty)$에서는 $\displaystyle g$의 함숫값이 $\displaystyle 0$ 혹은 $\displaystyle 1$이므로 이 구간들에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$이다. 구간 $\displaystyle (-a,-b)$와 $\displaystyle (b,a)$에서의 $\displaystyle g$의 미분값을 조사하기 위해 $\displaystyle g$를 미분하면

$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{a-b}\left[h^{\prime}\left(\frac{x+a}{a-b}\right)h\left(\frac{-x+a}{a-b}\right)-h\left(\frac{x+a}{a-b}\right)h^{\prime}\left(\frac{-x+a}{a-b}\right)\right].$

한편 구간 $\displaystyle (-a,-b)$에서 $\displaystyle 0<\frac{x+a}{a-b}<1$이고 $\displaystyle \frac{-x+a}{a-b}>1$임을 알 수 있고, 구간 $\displaystyle (b,a)$에서는 $\displaystyle \frac{x+a}{a-b}>1$이고 $\displaystyle 0<\frac{-x+a}{a-b}<1$이다. $\displaystyle h$의 미분값을 조사해보면 구간 $\displaystyle (-\infty,0)$, $\displaystyle (1,\infty)$에서 $\displaystyle 0$이고 $\displaystyle (0,1)$에서는 양수이다. 따라서 구간 $\displaystyle (-a,-b)$에서

$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{a-b}h^{\prime}\left(\frac{x+a}{a-b}\right)h\left(\frac{-x+a}{a-b}\right)\ge0$이고

구간 $\displaystyle (b,a)$에서는

$\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac1{a-b}h\left(\frac{x+a}{a-b}\right)h^{\prime}\left(\frac{-x+a}{a-b}\right)\le0$임을 할 수 있다. 따라서 $\displaystyle g$의 그래프는 위의 그림과 같이 $\displaystyle (-a,-b)$에서 증가하고 $\displaystyle (b,a)$에서 감소한다.