자연계열 1번

1. $\displaystyle d_1=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$, $\displaystyle d_2=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$을 대입하면

$\displaystyle \{(x-1)^2+y^2\}\{(x+1)^2+y^2\}=k^2$이 되고 이것을 정리하면

(1) $\displaystyle (x^2+y^2)^2-2x^2+2y^2-k^2+1=0$이 된다.

이 식에 $\displaystyle x=r\cos\theta$, $\displaystyle y=r\sin\theta$을 대입하여 정리하면

(2) $\displaystyle r^4-2r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-k^2+1=0$ 또는

(2’) $\displaystyle r^4-2r^2\cos2\theta-k^2+1=0$이 된다.

2. $\displaystyle k=\frac1{\sqrt2}$이면 (2’)은 $\displaystyle r^4-2r^2\cos2\theta+\frac12=0$이 되고 이 $\displaystyle r^2$에 관한 이차방정식이 음이 아닌 근을 적어도 하나 가질 조건을 구하면 되는데, 이 경우에는 두 근의 곱이 이미 양이므로 두 근이 모두 양일 조건을 구하면 된다.

판별식: $\displaystyle \cos^22\theta-\frac12\ge0$,

근의 합: $\displaystyle \cos2\theta>0$,

근의 곱: $\displaystyle \frac12>0$ (이미 만족)

을 연립하여 풀면

$\displaystyle \cos2\theta\ge\frac1{\sqrt2}$이 되고, 이를 만족하는 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi8$, $\displaystyle \frac{7\pi}8\le\theta\le\frac{9\pi}8$, $\displaystyle \frac{15\pi}8\le\theta<2\pi$가 된다.

접선의 경우는 위에서 특히 판별식이 0이 되는 경우 이므로 $\displaystyle \cos2\theta=\frac1{\sqrt2}$이고 이로부터 $\displaystyle \theta=\frac\pi8,\frac{7\pi}8,\frac{9\pi}8,\frac{15\pi}8$가 나오게 되는데 이로부터 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\pm x\tan\frac\pi8$이 됨을 알 수 있다.

3. $\displaystyle k$의 값이 0에 가까워짐에 따라 곡선 $\displaystyle d_1d_2=k$은 점점 작아져 결국 정점 $\displaystyle F_1$, $\displaystyle F_2$으로 수렴한다. 따라서 논제의 직선이 만약 존재한다면 그것은 $\displaystyle x$축이 되어야한다. 식 (1)에 $\displaystyle y=0$을 대입하면 $\displaystyle k^2=(x^2-1)^2$이 되므로, 직선 $\displaystyle y=0$는 임의의 $\displaystyle k$에 대하여 곡선 $\displaystyle d_1d_2=k$과 $\displaystyle (\pm\sqrt{1+k},0)$에서 만난다.