자연계열 1번

[가] 인수분해가 되지 않는 $\displaystyle x , y$에 관한 이차방정식 $\displaystyle a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f = 0$을 만족하는 평면 위의 점 $\displaystyle P \left( x , y \right)$의 집합을 이차곡선이라 하고, 그 계수의 값에 따라 포물선, 원, 타원, 쌍곡선으로 분류할 수 있다. 이들은 또한 원뿔곡선이라고도 불리는데, 그 이유는 원뿔을 평면으로 자를 때 얻어지는 단면 곡선이기도 하기 때문이다.

[나] 이차곡선을 이해하는 또 하나의 관점은 이들을 평면 위의 두 정점과의 위치 관계에 따라 분류하는 방법이다. 즉, 두 정점 $\displaystyle F_{1} , F_{2}$로부터 점 $\displaystyle P$까지의 거리를 각각 $\displaystyle d_{1} = \overline{PF_{1}} , d_{2} = \overline{PF_{2}}$라 할 때, $\displaystyle d_{1} + d_{2}$를 일정하게 하는 점 $\displaystyle P$의 집합은 타원이고 $\displaystyle \left| d_{1} - d_{2} \right|$를 일정하게 하는 점 $\displaystyle P$의 집합은 쌍곡선이다. 이 두 점 $\displaystyle F_{1} , F_{2}$를 초점이라 하는데, 일찍이 케플러(1571∼1630)는 포물선 역시 두 초점 중 하나가“무한히” 멀리 떨어져 있는 타원 또는 쌍곡선으로 볼 수 있음을 이해하였다. 물론, 원은 두 초점이 일치하는 타원의 특별한 경우로 볼 수 있고, 또한 $\displaystyle d_{1} / d_{2}$를 일정하게 하는 점 $\displaystyle P$의 집합으로 이해할 수도 있다.(아폴로니우스의 원)

[다] 평면 위의 점은 직교좌표를 이용하여 실수의 순서쌍 $\displaystyle \left( x , y \right)$로 나타낼 수 있다. 또 다른 방법으로는 원점 $\displaystyle O$로부터 점 $\displaystyle P$까지 거리 $\displaystyle \overline{OP} = r$과 $\displaystyle \overline{OP}$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향으로 회전한 각 $\displaystyle \theta$를 이용하여 $\displaystyle \left( r , \theta \right)$ 로 나타낼 수 있다. 이를 극좌표라고 하며, $\displaystyle r \geq 0 , 0 \leq \theta < 2 \pi$일 때, $\displaystyle x = r \cos \theta , y = r \sin \theta$를 만족한다. 예를 들어 원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원을 나타내는 방정식은 직교좌표로는 $\displaystyle x^{2} + y^{2} = 1$인데 반해 극좌표로는 $\displaystyle r = 1$이다. 점 $\displaystyle P$의 직교좌표와 극좌표의 관계는 아래와 같이 정리할 수 있다.

$\displaystyle r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$, $\displaystyle \tan \theta = \frac{{y}}{x} \left( x \ne 0 \right)$

$\displaystyle x = r \cos \theta$, $\displaystyle y = r \sin \theta$

극좌표 $\displaystyle r , \theta$의 방정식으로 표현된 곡선은 몇 개의 값 $\displaystyle \theta$에 대한 $\displaystyle r$의 값을 구하고, 이에 대응하는 점을 표시한 후 이렇게 얻은 점들을 적당히 연결하여 그 개형을 구할 수 있다. 예를 들어 $\displaystyle r = 1 + \theta$를 만족하는 점들의 집합은 $\displaystyle 0 \leq \theta < 2 \pi$일 때, 다음 그림과 같은 나선의 형태가 될 것이다.

제시문 (나)의 논의를 확장하여 이제 두 정점 $\displaystyle F_{1} , F_{2}$로부터 거리의 곱이 일정한 점 $\displaystyle P$의 집합에 대하여 알아보자. 편의상 $\displaystyle F_{1} \left( 1 , 0 \right) , F_{2} \left( - 1 , 0 \right)$이라 하고 상수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle d_{1} d_{2} = k$를 만족하는 점 $\displaystyle P$의 자취에 대하여 알아보자.