자연계열 4번

케이크 분배의 공평성에 대하여는 ‘강한 의미의 공평성’과 ‘약한 의미의 공평성’이 있다. 이중 전자는 “모든 사람이 자기보다 더 많이 가져간 사람이 없다고 믿어 불만이 없는 것”을 말하고, 후자는 제시문에서 밝혔듯이 “모든 사람이 자기가 평균 이상, 즉 1/N 이상의 양을 가져왔다고 믿어 불만이 없는 것”을 말한다. 전자는 무척 어려운 개념으로서 수학 및 경제학에서 오랫동안 도전해왔던 문제이며 1995년에 이르러서야 비로소 해법이 제시되었다. 후자는 이에 비하면 비교적 쉬워 대학입시 논술문제로 적당한 난이도를 가진다고 본다.

분배가 공평하다는 것은 모든 참여자가 불만이 없다는 뜻이다. 그리고 이 물음에서 말하는 공평성은 분배의 방법에 대한 것이지 분배의 케이스에 대한 것이 아니다. 주어진 분배 방법에 따라 분배 했을 때 어떤 케이스(경우)에는 모든 사람이 불만이 없고 어떤 케이스에는 일부 사람만 불만을 가질 수도 있다면 이 방법은 공평하지 않다고 본다. 이 사실은 제시문의 3 번째 예를 읽으면 알 수 있다.

물음에서 제시한 분배 [방법]은 제시문에 포함된 3 개의 예에 비해서 더 복잡하다. 그러므로 각 참여자의 불만/만족을 정확히 짚어 내는 것이 어느 정도의 난이도를 가진다. 이것이 수험생이 해 내야할 첫 번째 과제이다. 그리고 자신이 알아낸 결과 및 그에 이르는 과정을 타인이 쉽고 명확하게 이해할 수 있도록 서술하는 것이 또 하나의 과제가 된다.

공평한 분배의 대원칙은 나누는(케이크를 자르는) 사람이 타 참여자에게 선택권을 양보한다는 것이다. 이렇게 함으로써 나누는 사람은 (자신의 이익을 위하여) 균등하게 나누려고 노력하게 된다. 물음의 [방법]을 보면 A가 나눈 후에 B가 나누는데, 이들은 모두 자기에게 주어진 케이크 혹은 조각을 정확하게 등분하려고 할 것이다. 그러나 자르는 사람은 정확하게 같은 크기로 나누려고 하지만, 실제로 나누어진 조각, 혹은 쪽들의 크기에 대한 판단은 참여자에 따라 다를 수 있다는 것이 이 문제를 흥미롭게 한다. A의 의도대로 정확히 3 조각이 난 것을, B의 의도대로 다시 각각 정확히 2 쪽으로 나눈다면 케이크는 정확히 6등분 되어 어떤 순서로 가져가든 이 방법은 공평할 것이다. 그러나 정확히 등분되지 않을 수 있기에 이 문제는 적절한 난이도를 가지게 되는 것이다.

각 참여자는 자기가 케이크를 같은 크기로 나눌 의도로 나누었을 때는 실제로 균등 분할이 이루어진 걸로 믿는다. 이 사실은 제시문의 3 번째 예를 보면 잘 이해할 수 있다. 각 참여자는 자기가 케이크를 자른(나눈) 후에 자신의 실수로 균등 분할이 이루어지지 않았음을 알게 될 경우에도 그건 전적으로 자신의 책임이므로 불만을 가지지 않는다. 이런 문제까지 고려한다면 참여자가 선택하여 가져온 후에 뒤늦게 자기가 가져온 조각이 실은 작은 것이었다는 걸 깨닫게 되는 문제까지 생각해야 할 것이다. 실제 생활을 완벽하게 수학적으로 모델링할 수는 없는 것이므로 너무 극단적인 상상력은 발휘하지 않기로 한다.

마) 심층 채점 과정 (물음 4의 경우)

모범적인 분석은 아래와 같다. 이 분석을 토대로 문장을 다듬어 자연스러운 글을 만들면 모범답안을 얻을 수 있다.

분석 결과: [방법]에 대하여 A와 C는 불만이 없고 B는 불만이 있을 수 있다. 고로 이 [방법]은 공평하지 않다.

A의 전략 : 자신이 참여자 중 마지막으로 가져가며, 자기가 나눈 (가), (나), (다) 중의 어느 한 온전한 조각을 가져가게 되므로 케이크를 균등하게 나눈다. A는 선택권이 없으므로 가져가는 데 대한 전략은 없다.

B의 전략 : 자신이 나눈 후에 C가 자신보다 먼저 가져갈 것이므로 A가 나누어 놓은 케이크의 각 조각을 균등하게 나눈다. 자신이 보기에 큰 것만 균등하게 나누고 작은 것은 아무렇게나 나누는 것은 좋지 않다. 왜냐하면 C가 만일 작은 조각에서 나뉜 쪽 중 큰 쪽을 가져가면 자신은 어쩔 수 없이 작은 쪽을 가져가야 하기 때문이다. B도 선택권이 없으므로 가져가는 데 대한 전략은 없다.

C의 전략 : 3개의 조각 (가), (나), (다) 중 큰 것 2개를 선택한 후, 각 조각에서 큰 쪽을 선택한다. (사실 이것은 가장 많이 가져오기 위한 최선 전략은 아니다. B가 각 조각을 2등분하지 않을 수 있기 때문이다. 그러나 불만이 없기 위한 양인 $\displaystyle 1/3$ 이상을 가져오기에는 충분한 전략이다.) C는 나누지 않으므로 이에 대한 전략은 없다.

A가 불만이 없는 이유 : 어떻게 되든지 자신이 나눈 $\displaystyle 1/3$ 크기의 조각 한 개를 가져온다.

B가 불만이 있을 수 있는 이유 : B가 보기에 (가.1),(가.2),(나.1),(나.2),(다.1),(다.2)의 크기가 각각 $\displaystyle 5/28, 5/28, 4/28, 4/28, 4/28, 4/28$ 인 경우를 가정해 보자. 이때 만약 C가 보기에는 (나.1)과 (다.1)이 가장 커 보여서 이것들을 선택한다면 자기는 어쩔 수 없이 (나.2)와 (다.2)를 가져가게 되어 결국 $\displaystyle 8/28$, 즉 $\displaystyle 1/3$ 보다 작은 양을 가져오게 되기 때문이다.

C가 불만이 없는 이유 : (가), (나), (다)의 크기를 각각 $\displaystyle a,b,c$ ($\displaystyle a+b+c=1$)라 하고 $\displaystyle a\geq b\geq c$를 가정하자. 그러면 $\displaystyle a+b\geq 2/3$는 당연하다. 이때 (가.1), (가.2) 중 어느 하나의 크기는 $\displaystyle a/2$ 이상일 것이고, (나.1)과 (나.2) 중 어느 하나의 크기는 $\displaystyle b/2$ 이상일 것이므로 이 쪽들을 선택하면 자신이 가져오는 분량은 $\displaystyle a/2+b/2=(a+b)/2\geq 2/3\cdot1/2=$1/3$\displaystyle$ 이다.

이상의 분석 내용을 바탕으로 다음의 심층 채점 기준표에 따라 점수를 부여한다.