경북대 2010학년도 모의 자연계열 4번 해설

【제시문 4】(가) 갑과 을이 각각 한 개의 동전을 손에 쥐고 있다가 동시에 내미는 게임을 하기로 하고 게임규칙을 아래와 같이 정하였다.

갑이 내민 경우	을이 내민 경우	내기
앞면	앞면	갑이 을에게 300원을 받는다.
앞면	뒷면	갑이 을에게 400원을 받는다.
뒷면	앞면	갑이 을에게 100원을 준다.
뒷면	뒷면	갑이 을에게 200원을 준다.

이 규칙을 보고 갑은 네 번 중 한번은 앞면을, 을은 두 번 중 한번은 앞면을 내는 전략을 사용하기로 하였다. 이러한 전략을 사용할 경우에 갑이 받는 금액과 확률은 표와 같다. 여기서 − 부호는 갑이 을에게 주는 금액을 나타낸다.

경우	갑이 을에게 받는 금액	확률
갑이 앞면, 을이 앞면	300	$\displaystyle \dfrac14\times\dfrac12=\dfrac18$
갑이 앞면, 을이 뒷면	400	$\displaystyle \dfrac14\times\dfrac12=\dfrac18$
갑이 뒷면, 을이 앞면	−100	$\displaystyle \dfrac34\times\dfrac12=\dfrac38$
갑이 뒷면, 을이 뒷면	−200	$\displaystyle \dfrac34\times\dfrac12=\dfrac38$

(나) 경쟁회사 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 는 각각 갑 또는 을 지역에 매일 한번 씩 제품을 납품한다. $\displaystyle A$ 가 갑 지역에 제품을 납품하는 일수의 합을 총납품일수로 나눈 값을 $\displaystyle x\ (0\le x\le1)$ 이라하며, $\displaystyle B$ 가 갑 지역에 제품을 납품하는 일수의 합을 총납품일수로 나눈 값을 $\displaystyle y\ (0\le y\le1)$ 라 한다. 표는 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 납품하는 경우에 따른 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 의 하루 이익을 나타낸 것이다.

	A의 하루 이익	B의 하루 이익
A, B가 모두 갑에 납품할 경우	3백만원	1백만원
A가 을, B가 갑에 납품할 경우	5백만원	3백만원
A가 갑, B가 을에 납품할 경우	4백만원	4백만원
A, B가 모두 을에 납품할 경우	2백만원	2백만원

【물음 4】 (25점)(1) (가)에서 이 게임 전략은 갑에게 불리하다. 그 이유를 기대값을 이용하여 논술하시오.(2) (나)에서 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 의 하루이익의 기대값은 각각 $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 이다. $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 독자적으로 의사결정을 하여 납품지역을 선정할 때, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 를 각각 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 로 나타내시오.(3) (나)에서 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 서로 의논하여 기대값의 합이 최대가 되도록 각 지역에 납품하는 일수를 정하고자 한다. 이때 기대값의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

경북대 2010학년도 모의 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/knu/2010mo/jayeon_4

라) 물음 4(1) 갑이 받을 기대값은 $\displaystyle 300\times\dfrac18+400\times\dfrac18+(-100)\times\dfrac38+(-200)\times\dfrac38=-25$ (원)로 음수이므로, 갑이 불리하다.

(2) $\displaystyle A$ 가 갑 지역에 제품을 납품하는 일수의 합을 총 납품일수로 나눈 값을 $\displaystyle x\ (0\le x\le1)$ 이므로, $\displaystyle x\ (0\le x\le1)$ 는 $\displaystyle A$ 가 갑 지역에 제품을 납품할 확률이다. 따라서 $\displaystyle A$ 가 을 지역에 제품을 납품할 확률은 $\displaystyle 1-x\ (0\le x\le1)$ 이다. 마찬가지로, $\displaystyle B$ 가 을 지역에 제품을 납품할 확률은 $\displaystyle 1-y\ (0\le y\le1)$ 이다.따라서 $\displaystyle A,B$ 가 출하지역을 선택하는 확률 표는 아래와 같다.

	B가 갑에 출하	B가 을에 출하
A가 갑에 출하	$\displaystyle xy$	$\displaystyle x(1-y)$
A가 을에 출하	$\displaystyle (1-x)y$	$\displaystyle (1-x)(1-y)$

\displaystyle p,q

는

\displaystyle \begin{aligned}p&=3xy+4x(1-y)+5(1-x)y+2(1-x)(1-y)\\&=-4xy+2x+3y+2\qquad(답)\end{aligned}

\displaystyle \begin{aligned}q&=xy+4x(1-y)+3(1-x)y+2(1-x)(1-y)\\&=-4xy2x+y+2\qquad(답)\end{aligned}

Correction. (2) 예시답안에서

\displaystyle q

의 전개식은

\displaystyle -4xy

와

\displaystyle 2x

사이의

\displaystyle +

가 누락된 오기이다. 바로 앞 식을 전개하면 다음과 같다.

\displaystyle q=xy+4x(1-y)+3(1-x)y+2(1-x)(1-y)=-4xy+2x+y+2.

이 식은 (3)의

\displaystyle p+q=-2(2x-1)(2y-1)+6

과도 일치한다. 원문 표기는 그대로 실었다.

(3) 기대값의 합은 $\displaystyle p+q=-2(2x-1)(2y-1)+6$ 이다.이때, $\displaystyle 0\le x\le1,\ 0\le y\le1$ 에 의해 $\displaystyle -1\le2x-1\le1,\ -1\le2y-1\le1$ 이다. 따라서 $\displaystyle -1\le(2x-1)(2y-1)\le1$ 이므로, $\displaystyle 4\le p+q\le8$ 이다.결국, $\displaystyle p+q$ 는 $\displaystyle (2x-1,2y-1)=\pm(1,-1)$ , 즉 $\displaystyle (x,y)=(1,0),(0,1)$ 일 때 ( $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 서로 다른 지역에 납품 할 때), 기대값의 합의 최대 $\displaystyle 8$ (백만원)을 갖는다.

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자연계열 4번

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