경북대 2012학년도 수시 자연계열 4번 해설

【제시문 4】

(가) 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x}$ 는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$ 에서 증가함수이다. 즉 임의의 두 수 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ 가 $\displaystyle x_1\le x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)\le f(x_2)$ 이다.

(나) 두 점 $\displaystyle P$ , $\displaystyle Q$ 사이의 거리를 $\displaystyle d(P,Q)$ 라고 할 때, 서로 다른 세 점 $\displaystyle P$ , $\displaystyle Q$ , $\displaystyle R$ 로 이루어진 [그림 1]의 삼각형에서 세 변의 길이에 대하여 다음 삼각부등식 (A)가 성립한다. $\displaystyle d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R)\qquad\text{(A)}$

위의 삼각부등식은 2차원 혹은 3차원 공간뿐만 아니라 일반적인 집합에서 정의된 거리에도 성립해야 한다. 예를 들어, 집합 $\displaystyle S$ 가 무한수열들의 모임이라면 임의의 세 무한수열 $\displaystyle \{a_k\}$ , $\displaystyle \{b_k\}$ , $\displaystyle \{c_k\}$ 사이의 거리에서도 아래의 삼각부등식 (B)는 성립해야 한다. $\displaystyle d(\{a_k\},\{c_k\})\le d(\{a_k\},\{b_k\})+d(\{b_k\},\{c_k\})\qquad\text{(B)}$

(다) 수렴하는 무한급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}d_k$ 와 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}e_k$ 에 대하여 다음 등식이 성립한다. $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(d_k+e_k)=\sum_{k=1}^{\infty}d_k+\sum_{k=1}^{\infty}e_k$ 또한 각 항들이 $\displaystyle 0\le d_k\le e_k$ 이면 다음 부등식이 성립한다. $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}d_k\le\sum_{k=1}^{\infty}e_k$ 실수 $\displaystyle r$ 의 크기가 1보다 작고 무한수열 $\displaystyle \{a_k\}$ 의 모든 항들의 크기가 특정한 양수 $\displaystyle Z$ 보다 작으면, 무한급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}r^ka_k$ 는 수렴한다.

【물음 4】

(1) 임의의 두 실수 $\displaystyle s$ , $\displaystyle t$ 에 대하여 다음 부등식 (C)와 (D)가 성립한다. $\displaystyle \frac{|s+t|}{1+|s+t|}\le\frac{|s|+|t|}{1+|s|+|t|}\qquad\text{(C)}$ $\displaystyle \frac{|s|+|t|}{1+|s|+|t|}\le\frac{|s|}{1+|s|}+\frac{|t|}{1+|t|}\qquad\text{(D)}$ 부등식 (C)가 성립함을 제시문 (가)에 근거하여 간략히 보이시오. (35점)

(2) 세 무한수열 $\displaystyle \{a_k\}$ , $\displaystyle \{b_k\}$ , $\displaystyle \{c_k\}$ 의 각 항들에 대하여 다음 부등식 (E)가 성립한다. $\displaystyle \frac{|a_k-c_k|}{1+|a_k-c_k|}\le\frac{|a_k-b_k|}{1+|a_k-b_k|}+\frac{|b_k-c_k|}{1+|b_k-c_k|}\qquad\text{(E)}$ 이를 부등식 (C)와 (D)에 근거하여 간략히 보이시오. (35점)

(3) 제시문 (나)의 집합 $\displaystyle S$ 에 있는 임의의 두 무한수열 $\displaystyle \{m_k\}$ , $\displaystyle \{n_k\}$ 사이의 거리를 식 (F)와 같이 정의하면 $\displaystyle d(\{m_k\},\{n_k\})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^k}\frac{|m_k-n_k|}{1+|m_k-n_k|}\qquad\text{(F)}$ 세 무한수열 $\displaystyle \{a_k\}$ , $\displaystyle \{b_k\}$ , $\displaystyle \{c_k\}$ 사이에 삼각부등식 (B)가 성립한다. 이를 제시문 (다)와 부등식 (E)에 근거하여 간략히 보이시오. (30점)

경북대 2012학년도 수시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/knu/2012su/jayeon_4

+35점

(1) $\displaystyle |s+t|\le |s|+|t|$ 이다. 제시문 (가)에서 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x}$ 는 증가함수이므로 다음이 성립한다. $\displaystyle \frac{|s+t|}{1+|s+t|}=f(|s+t|)\le f(|s|+|t|)=\frac{|s|+|t|}{1+|s|+|t|}$

+35점

(2) $\displaystyle s=a_k-b_k$ , $\displaystyle t=b_k-c_k$ 라 두면 $\displaystyle s+t=a_k-c_k$ 이다. 따라서 부등식 (C)와 (D)에 의해 $\displaystyle \frac{|a_k-c_k|}{1+|a_k-c_k|}=\frac{|s+t|}{1+|s+t|}\le\frac{|s|}{1+|s|}+\frac{|t|}{1+|t|}=\frac{|a_k-b_k|}{1+|a_k-b_k|}+\frac{|b_k-c_k|}{1+|b_k-c_k|}$ 이다.

+30점

(3) 부등식 (E)의 양변에 $\displaystyle \frac{1}{10^k}$ 를 곱하면, 다음의 부등식을 얻을 수 있다. $\displaystyle \frac{1}{10^k}\frac{|a_k-c_k|}{1+|a_k-c_k|}\le\frac{1}{10^k}\frac{|a_k-b_k|}{1+|a_k-b_k|}+\frac{1}{10^k}\frac{|b_k-c_k|}{1+|b_k-c_k|}$ $\displaystyle \frac{1}{10}<1$ 이고, 임의 실수 $\displaystyle a$ 에 대해 $\displaystyle \frac{|a|}{1+|a|}<1$ 이므로, 제시문(다)로부터 위 부등식 각 항의 무한합은 수렴한다. 따라서 제시문 (다)로부터 다음이 성립한다. $\displaystyle d(\{a_k\},\{c_k\})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^k}\frac{|a_k-c_k|}{1+|a_k-c_k|}\le\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^k}\frac{|a_k-b_k|}{1+|a_k-b_k|}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^k}\frac{|b_k-c_k|}{1+|b_k-c_k|}=d(\{a_k\},\{b_k\})+d(\{b_k\},\{c_k\})$

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 4번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개