자연계열 4번

(a)

주어진 조건에서 $\displaystyle a>\frac{1}{2}$인 경우와 $\displaystyle a<\frac{1}{2}$인 경우 그리고 $\displaystyle a=\frac{1}{2}$인 경우로 나누어 생각하여야 하지만 예를 들어 $\displaystyle a<\frac{1}{2}$인 경우만을 생각해보자. 먼저 $\displaystyle A$가 $\displaystyle y$축에 그리고 $\displaystyle B$가 $\displaystyle x$축에 있는 경우 $\displaystyle A$를 $\displaystyle (0,c)$라 하고 $\displaystyle B$를 $\displaystyle (d,0)$이라 할 수 있다. 선분의 길이가 1이므로 $\displaystyle c^2+d^2=1$을 만족하고 점$\displaystyle P$를 $\displaystyle (x,y)$라 하면 $\displaystyle x=(1-a)d$ 그리고 $\displaystyle y=ac$를 만족한다. 따라서 $\displaystyle (x,y)$는 $\displaystyle \frac{x^2}{(1-a)^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$을 만족한다. 그러므로 일단 그림 1에서와 같이 원점 근방에서 타원의 일부가 생성된다. 이후에 $\displaystyle P$는 $\displaystyle y$축을 따라서 이동하다가 $\displaystyle A$가 $\displaystyle (0,3)$을 지난 이후에 그림 1에서와 같은 타원의 일부를 그리며 같은 방법으로 나머지 자취도 구할 수 있다. 여기서 물론 그림 1에서와 같이 4개의 타원의 방정식을 각각 구할 수 있지만 기하학적인 패턴을 이용하여 첫 번째 타원의 방정식을 구한 후에 나머지 타원의 방정식을 추정하는 방법이 효율적일 것이다. 그리고 타원의 일부들의 끝점을 잇는 선분들도 자취에 포함시키는 것을 잊지 말아야 할 것이다. $\displaystyle a>\frac{1}{2}$인 경우와 $\displaystyle a=\frac{1}{2}$인 경우도 같은 방법을 적용할 수 있으나 $\displaystyle a>\frac{1}{2}$인 경우는 장축과 단축이 뒤바뀌고 $\displaystyle a=\frac{1}{2}$인 경우는 원을 얻는다.

(b)

먼저 그림 1의 도형을 $\displaystyle x$축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피와 그림 3과 4의 빗금친 도형을 $\displaystyle x$축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피의 합은 일치한다. 따라서 회전체의 부피는$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^{1-a}\pi a^2\left(1-\frac{x^2}{(1-a)^2}\right)dx+\int_0^{1-a}\pi\left(3^2-\left(3-a\sqrt{1-\frac{x^2}{(1-a)^2}}\right)^2\right)dx\\&\quad+\int_0^a\pi(1-a)^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx+\int_0^a\pi\left(3^2-\left(3-(1-a)\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right)^2\right)dx\end{aligned}$이다. 서로 상쇄되는 부분을 고려하여 간단히 하면 부피 $\displaystyle f(a)$는$\displaystyle \int_0^{1-a}6\pi\frac{a}{1-a}\sqrt{(1-a)^2-x^2}\,dx+\int_0^a6\pi\frac{1-a}{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx=3\pi^2a(1-a)$가 된다. 그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nf\left(\frac{1}{n}\right)=3\pi^2$이다.

(c)

$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$인 경우는 논제(a)에서 다루었으므로 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$가 아니라고 하자. 그림 5에서 점$\displaystyle A$를 $\displaystyle (c,c\tan\theta)$라 놓고 점$\displaystyle B$를 $\displaystyle (d,0)$이라 놓으면 점$\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle (x,y)=\left(\frac{c+d}{2},\frac{c\tan\theta}{2}\right)$가 된다. 점$\displaystyle A$와 점$\displaystyle B$ 사이의 거리가 1이므로 $\displaystyle (c-d)^2+c^2\tan^2\theta=1$을 만족한다. 따라서 위의 정보를 이용하여 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$가 이루는 방정식을 만들면 $\displaystyle \left(\frac{4y}{\tan\theta}-2x\right)^2+4y^2=1$이 된다. 따라서 $\displaystyle P$의 자취는 앞의 식을 만족시키는 2차 곡선의 일부가 되며 이 이차곡선은 사실상 타원을 회전한 곡선이다.