자연계열 1번

(a)

아래 그림에서 관계식 $\displaystyle (1+a)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)=a$를 얻을 수 있다.

다른 방법으로는 cosine 법칙을 이용하면 $\displaystyle \cos\frac{2\pi}{n}=\frac{-a^2+2a+1}{(a+1)^2}$를 얻을 수 있다.

(b)

(a)에서 얻은 관계식을 $\displaystyle a$에 관해서 풀면,$\displaystyle a=\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}$을 얻을 수 있으므로 $\displaystyle a<1$이기 위한 조건은 $\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}<\frac{1}{2}$이다. 따라서, $\displaystyle n>6$.

(c)

각 원의 둘레의 길이는 $\displaystyle 2\pi a$이고 원의 개수는 $\displaystyle n$개 이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle L(n)=2\pi an=2\pi\frac{n\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}$따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}L(n)=2\pi^2$.

(d)

아래 그림에서 원의 개수가 $\displaystyle 2n$일 때 $\displaystyle k$번 째 원의 중심의 $\displaystyle x$축으로 부터의 거리는 $\displaystyle (1+a)\sin\frac{2(k-1)\pi}{2n}=(1+a)\sin\frac{(k-1)\pi}{n}$이다. (단, $\displaystyle k=2,\ldots,n$)

원 $\displaystyle C_k$를 $\displaystyle x$축으로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 부피는 $\displaystyle 2\pi^2a^2(1+a)\sin\frac{(k-1)\pi}{n}$이다. 따라서,$\displaystyle \begin{aligned}V(2n)&=\frac{8\pi}{3}a^3+\sum_{k=2}^n2\pi^2a^2(1+a)\sin\frac{(k-1)\pi}{n}\\&=\frac{8\pi}{3}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{1-\sin\frac{\pi}{2n}}\right)^3+\sum_{k=2}^n2\pi^2\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{1-\sin\frac{\pi}{2n}}\right)^2\frac{1}{1-\sin\frac{\pi}{2n}}\sin\frac{(k-1)\pi}{n}\end{aligned}$

이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}nV(2n)&=\lim_{n\to\infty}\frac{8n\pi}{3}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{1-\sin\frac{\pi}{2n}}\right)^3+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n2n\pi^2\left(\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{1-\sin\frac{\pi}{2n}}\right)^2\frac{1}{1-\sin\frac{\pi}{2n}}\sin\frac{(k-1)\pi}{n}\\&=\frac{\pi^4}{2}\int_0^1\sin\pi x\,dx\end{aligned}$이다.