자연계열 1번

광운대 2011학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2011mo/jayeon_1

■ 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오. [문제 1]

고대 이집트의 수학 문제를 다룬 아메스 파피루스(기원전 1650년경)에는 사각형의 넓이에 관한 문제가 있는데, 오른쪽 그림과 같이 연속한 네 변의 길이가 $\displaystyle a, b, c, d$ 인 사각형의 넓이 $\displaystyle S$ 를 다음과 같이 계산하고 있다.

$\displaystyle S= \frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}$ ⋯⋯①

이 공식이 정확하지 않음을 쉽게 확인할 수 있는데, 신기하게도 이 공식이 중국과 우리나라의 전통 수학에도 나타난다.

이런 사각형의 넓이 $\displaystyle S$ 를 찾는 정확한 공식은 다음과 같다.

$\displaystyle S= \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd \cos ^{2} \alpha }$ ⋯⋯②

(단, $\displaystyle 2p=a+b+c+d$ , $\displaystyle 2 \alpha$ 는 두 대각의 크기의 합)

(1) 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있는 사각형의 예를 들어보시오. 그리고 공식 ①을 일반적으로 적용할 수 없는 이유를 구체적인 예를 들어 설명하시오.

(2) 인도의 수학자 브라마굽타는 오른쪽 그림과 같이 연속한 네 변의 길이가 $\displaystyle a, b, c, d$ 이고 원에 내접하는 사각형 ABCD의 넓이 $\displaystyle S$ 를 구하는 다음과 같은 공식을 발견했다.

$\displaystyle S= \sqrt {(p-a) (p-b) (p-c) (p-d) }$ ⋯⋯③

(단, $\displaystyle 2p=a+b+c+d$ )

이 사각형에서 ∠A의 크기를 $\displaystyle A$ 라 할 때,

[1] 코사인 법칙을 이용해서 $\displaystyle \cos A= \frac{a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}}{2(ad+bc)}$ 을 유도하고,

[2] 삼각형의 넓이 공식을 이용해서 $\displaystyle S = \frac{1}{2} (ad+bc)\sin A$ 를 유도한 다음에,

[3] 이런 결과를 이용해서 공식 ③을 증명하시오.

(3) 일반적인 공식 ②는 다음과 같이 증명할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 볼록 사각형 ABCD에서 연속한 네 변의 길이를 $\displaystyle a, b, c, d$ 라 하고, 마주보는 ∠A와 ∠C의 크기를 각각 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle C$ 라 하면, $\displaystyle S = \frac{1}{2} ad \sin A + \frac{1}{2} bc \sin C$ 이고, $\displaystyle a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} = 2ad \cos A - 2bc \cos C$ 이 성립한다.

그러므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle 16S ^{2} = ( 2ad \sin A + 2bc \sin C ) ^{2} +(2ad \cos A - 2bc \cos C ) ^{2} -( a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} ) ^{2}$

$\displaystyle = \left\{ 4a ^{2} d ^{2} +4b ^{2} c ^{2} +8abcd-(a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} ) ^{2} \right\} - 8abcd ( 1 + \cos A \cos C -\sin A \sin C )$

$\displaystyle = (b+c+a-d)(b+c-a+d)(a+d+b-c)(a+d-b+c)-16abcd \cos ^{2} \alpha$ ,

$\displaystyle S ^{2} = \left ( \frac{a+b+c-d}{2} \right ) \left ( \frac{b+c-a+d}{2} \right ) \left ( \frac{a+b-c+d}{2} \right ) \left ( \frac{a-b+c+d}{2} \right ) -abcd \cos ^{2} \alpha$ ,

$\displaystyle S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos ^2 \alpha }$ Correction. 마지막 식의 $\displaystyle s$ 는 앞에서 정의한 $\displaystyle p$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

위의 증명 과정에서 이용한 다음 등식을 증명하시오.

$\displaystyle 1+\cos A\cos C-\sin A\sin C=2\cos^2\alpha$

해설강의 준비중

삼각함수의 덧셈정리

관련 개념강의 준비중

광운대 2011학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2011mo/jayeon_1

(1) · 수학사에 등장한 주어진 공식이 정확하게 적용되는 구체적인 예를 들 수 있는가?

(1) 직사각형은 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있다.

(1) · 일반적으로 그 공식을 적용할 수 없음을 보여주는 구체적인 예를 들 수 있는가?

한편, 마름모를 생각하면, 정사각형의 경우에는 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있지만, 변의 길이는 변함이 없지만 이를 ‘눌러서’ 만들 수 있는 마름모의 넓이는 원하는 만큼 작게 할 수 있다. 공식 ①을 일반적으로 적용할 수 없다.

(2) · 삼각함수의 코사인 법칙을 이용해서 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

(2) [1] ∠A와 ∠C의 크기를 각각 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle C$ 라 하면, $\displaystyle A+C=180°$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \cos A=\cos (180°-C)=-\cos C$ 이다. 대각선 BD의 길이를 코사인법칙으로 나타내면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}^2=a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2-2bc\cos C=b^2+c^2+2bc\cos A$ ,

$\displaystyle 2(ad+bc)\cos A=a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}$ ,

$\displaystyle \cos A= \frac{a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}}{2(ad+bc)}$

(2) · 사인함수를 이용해서 삼각형의 넓이를 구할 수 있고, 원에 내접하는 사각형의 대각의 성질을 이용해서 사각형의 넓이에 관한 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

[2] 그리고 □ABCD의 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle S=\triangle\mathrm{ABD}+\triangle\mathrm{BCD}=\frac12 ad\sin A+\frac12 bc\sin C$

$\displaystyle = \frac{1}{2} ad \sin A+ \frac{1}{2} bc \sin (180°-A)= \frac{1}{2} ad \sin A+ \frac{1}{2} bc \sin A$

$\displaystyle = \frac{1}{2} (ad+bc)\sin A$

(2) · 삼각함수 사이의 관계와 인수분해 공식을 이용해서 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

[3] 따라서 $\displaystyle \sin A = \sqrt { 1 - \cos ^2 A }$ 이므로, 다음이 성립한다.

$\displaystyle S = \frac{1}{2} (ad+bc) \sqrt {1-\cos ^{2} A }$

$\displaystyle = \frac{1}{2} (ad+bc) \sqrt {(1-\cos A)(1+\cos A) }$

$\displaystyle = \frac{1}{2} (ad+bc) \sqrt {\frac{(2ad+2bc-a ^{2} -d ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )}{2(ad+bc)} \frac{(2ad+2bc+a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} )}{2(ad+bc)}}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt {\frac{\left\{ (b+c) ^{2} -(a-d ) ^{2} \right\}}{2} \frac{\left\{ (a+d) ^{2} -(b-c) ^{2} \right\}}{2}}$

$\displaystyle = \sqrt {\frac{(b+c-a+d )}{2} \frac{(b+c+a-d )}{2} \frac{ ( a+d-b+c) }{2} {\frac{(a+d+b-c)}{2}}}$

$\displaystyle = \sqrt {\frac{(2p-2a )}{2} \frac{(2p-2d )}{2} \frac{(2p-2b)}{2} \frac{(2p-2c)}{2}}$

$\displaystyle = \sqrt {(p-a )(p-b )(p-c )(p-d ) }$

(3) · 삼각함수의 덧셈정리와 반각의 공식을 이용해서 주어진 공식을 유도할 수 있는가?

(3) 먼저 문제의 사각형 ABCD에서 ∠B와 ∠D의 크기를 각각 $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle D$ 라 하자. 그러면 $\displaystyle A+B+C+D=2\pi$ 이므로 $\displaystyle \frac{A+C}{2}=\pi-\frac{B+D}{2}$ 이고, 이에 $\displaystyle \cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(\pi-\frac{B+D}{2}\right)=-\cos\frac{B+D}{2}$ 이므로 $\displaystyle \cos^2\alpha=\cos^2\frac{A+C}{2}=\cos^2\frac{B+D}{2}$ 이다.

따라서 삼각함수의 덧셈정리와 반각의 공식에 의해 다음이 성립한다.

$\displaystyle 1 + \cos A \cos C -\sin A \sin C$

$\displaystyle = 1+\cos ( A + C )$

$\displaystyle = 2 \cos ^{2} \frac{A + C }{2}$

$\displaystyle = 2 \cos ^2 \alpha$

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