자연계열 1번

(1) 직사각형은 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있다.

한편, 마름모를 생각하면, 정사각형의 경우에는 공식 ①로 넓이의 참값을 구할 수 있지만, 변의 길이는 변함이 없지만 이를 ‘눌러서’ 만들 수 있는 마름모의 넓이는 원하는 만큼 작게 할 수 있다. 공식 ①을 일반적으로 적용할 수 없다.

(2) [1] ∠A와 ∠C의 크기를 각각 $\displaystyle A$와 $\displaystyle C$라 하면, $\displaystyle A+C=180°$이다. 그러므로 $\displaystyle \cos A=\cos (180°-C)=-\cos C$이다. 대각선 BD의 길이를 코사인법칙으로 나타내면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}^2=a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2-2bc\cos C=b^2+c^2+2bc\cos A$,

$\displaystyle 2(ad+bc)\cos A=a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}$,

$\displaystyle \cos A= \frac{a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2}}{2(ad+bc)}$

[2] 그리고 □ABCD의 넓이 $\displaystyle S$는 다음과 같다.

$\displaystyle S=\triangle\mathrm{ABD}+\triangle\mathrm{BCD}=\frac12 ad\sin A+\frac12 bc\sin C$

$\displaystyle = \frac{1}{2} ad \sin A+ \frac{1}{2} bc \sin (180°-A)= \frac{1}{2} ad \sin A+ \frac{1}{2} bc \sin A$

$\displaystyle = \frac{1}{2} (ad+bc)\sin A$

[3] 따라서 $\displaystyle \sin A = \sqrt { 1 - \cos ^2 A }$이므로, 다음이 성립한다.

$\displaystyle S = \frac{1}{2} (ad+bc) \sqrt {1-\cos ^{2} A }$

$\displaystyle = \frac{1}{2} (ad+bc) \sqrt {(1-\cos A)(1+\cos A) }$

$\displaystyle = \frac{1}{2} (ad+bc) \sqrt {\frac{(2ad+2bc-a ^{2} -d ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )}{2(ad+bc)} \frac{(2ad+2bc+a ^{2} +d ^{2} -b ^{2} -c ^{2} )}{2(ad+bc)}}$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt {\frac{\left\{ (b+c) ^{2} -(a-d ) ^{2} \right\}}{2} \frac{\left\{ (a+d) ^{2} -(b-c) ^{2} \right\}}{2}}$

$\displaystyle = \sqrt {\frac{(b+c-a+d )}{2} \frac{(b+c+a-d )}{2} \frac{ ( a+d-b+c) }{2} {\frac{(a+d+b-c)}{2}}}$

$\displaystyle = \sqrt {\frac{(2p-2a )}{2} \frac{(2p-2d )}{2} \frac{(2p-2b)}{2} \frac{(2p-2c)}{2}}$

$\displaystyle = \sqrt {(p-a )(p-b )(p-c )(p-d ) }$

(3) 먼저 문제의 사각형 ABCD에서 ∠B와 ∠D의 크기를 각각 $\displaystyle B$와 $\displaystyle D$라 하자. 그러면 $\displaystyle A+B+C+D=2\pi$이므로 $\displaystyle \frac{A+C}{2}=\pi-\frac{B+D}{2}$이고, 이에 $\displaystyle \cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(\pi-\frac{B+D}{2}\right)=-\cos\frac{B+D}{2}$이므로 $\displaystyle \cos^2\alpha=\cos^2\frac{A+C}{2}=\cos^2\frac{B+D}{2}$이다.

따라서 삼각함수의 덧셈정리와 반각의 공식에 의해 다음이 성립한다.

$\displaystyle 1 + \cos A \cos C -\sin A \sin C$

$\displaystyle = 1+\cos ( A + C )$

$\displaystyle = 2 \cos ^{2} \frac{A + C }{2}$

$\displaystyle = 2 \cos ^2 \alpha$