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자연계열 1번

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광운대 2011학년도 수시 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2011su_1/jayeon_1

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문제

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

케플러(Johannes Kepler, 1571~1630)는 함수의 증분이 최댓값 또는 최솟값의 근방에서 거의 무시할 수 있을 정도로 작다는 사실을 관찰했다. 페르마(Pierre de Fermat, 1601~1665)는 이 사실을 최댓값 또는 최솟값을 결정하는 과정으로 해석했다. 간단히 말하면 그 방법은 다음과 같다. 함수 f\displaystyle f가 x\displaystyle x에서 최댓값 또는 최솟값을 갖고 h\displaystyle h를 매우 작은 값이라 하면, f(x+h)\displaystyle f(x + h )의 값은 f(x)\displaystyle f(x)의 값과 거의 같을 것이다. 따라서 임시로 f(x+h)=f(x)\displaystyle f(x + h ) = f(x)라 놓고, 이 방정식을 정리한 다음에 h\displaystyle h에 0\displaystyle 0을 대입해서 방정식을 수정한다. 그 결과로 얻은 방정식의 근 x\displaystyle x는 f\displaystyle f를 최댓값 또는 최솟값으로 만드는 값이다.

페르마가 이런 과정을 적용한 최초의 문제는 다음과 같다. ㉠ “주어진 양수를 음이 아닌 두 수의 합으로 나타내는데, 그 두 수의 곱이 최대가 되는 경우를 찾아라.” 페르마는 상수는 대문자 자음으로, 변수는 대문자 모음으로 표현했다. 이에 따라 B\displaystyle B를 주어진 양수라 하고, 구하려는 두 수를 A\displaystyle A와 B−A\displaystyle B-A로 나타낸다. 증분을 E\displaystyle E라 하여 곱 (A+E){B−(A+E)}\displaystyle (A+E) \left\{ B-(A+E) \right\}를 만들고 이를 A(B−A)\displaystyle A(B-A)와 같다고 놓으면, 다음 방정식을 얻는다.

A(B−A)=(A+E)(B−A−E)\displaystyle A(B-A)=(A+E)(B-A-E), 곧 BE−2AE−E2=0\displaystyle BE-2AE-E^2 = 0

E\displaystyle E로 양변을 나누면, B−2A−E=0\displaystyle B-2A-E=0이다. 이제 E=0\displaystyle E=0으로 놓으면, 2A=B\displaystyle 2A=B를 얻는다. 따라서 찾는 경우는 주어진 양수 B\displaystyle B를 그것의 반씩으로 나누어 곱하는 것이다.

위의 논리에는 미비한 점이 많다. 그렇지만 이 방법은 함수 f\displaystyle f의 도함수를 0\displaystyle 0으로 만드는 수를 찾는 것과 본질적으로 같은데, 이 방법을 ‘페르마의 방법’이라 한다. 그렇지만 페르마는 ㉡ f\displaystyle f의 도함수가 0이 되는 것은 극값이 존재하기 위한 충분조건이 아니라 필요조건이라는 사실을 깨닫지 못했다. 또, ㉢ 페르마의 방법은 극댓값과 극솟값을 구별하고 있지도 않다.

[문제 1] (40점)

(1) 페르마가 고려한 문제 ㉠을 미분을 이용해서 해결하시오. 곧, 주어진 양수를 a\displaystyle a라 놓고 적절한 변수 x\displaystyle x와 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 정해서, f(x)\displaystyle f(x)가 최댓값을 취하는 x\displaystyle x의 값을 미분을 이용해서 구하시오.

(2) ㉡의 사실을 보여주는 함수의 예로 실수 전체에서 미분가능한 함수 f\displaystyle f를 찾고, f\displaystyle f에 대해 이 사실을 확인하시오.

(3) ㉢을 밝히기 위해서 도함수가 0일 때 극댓값도 나타날 수 있고 극솟값도 나타날 수 있음을 보여주는 함수의 예로 실수 전체에서 미분가능한 함수 f\displaystyle f를 찾고, f\displaystyle f에 대해 이 사실을 확인하시오.

(4) 삼차함수 f\displaystyle f의 도함수는 f′(x)=3x2−6x\displaystyle f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x이고 극솟값이 0\displaystyle 0일 때, 구간 [−1,3]\displaystyle [ -1, 3]에서 f\displaystyle f의 최댓값을 구하시오.

(5) 구간 [−1,3]\displaystyle [ -1, 3]에서 함수 f(x)=xe−x\displaystyle f(x) = x e^{-x}의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

해설강의 준비중

광운대 2011학년도 수시 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2011su_1/jayeon_1

(1) 주어진 수 a\displaystyle a를 음이 아닌 두 수의 합으로 나타낼 때, 그 한 수를 변수 x\displaystyle x로 놓으면 두 수의 곱은 x\displaystyle x의 함수 f(x)=x(a−x)\displaystyle f(x) = x ( a - x)이다. 이때 함수 f\displaystyle f의 정의역은 [0,a]\displaystyle [0, a ]이다. f\displaystyle f는 다항함수이므로, f\displaystyle f의 최댓값은 구간 [0,a]\displaystyle [0, a ]에서 f(x)\displaystyle f(x)의 극값 및 f(0)\displaystyle f(0)과 f(a)\displaystyle f(a) 중에서 최대인 값이다. f′(x)=a−2x=0\displaystyle f^{\prime}( x) = a - 2x =0에서 x=a2\displaystyle x = \frac{a}{2}이므로, f(x)\displaystyle f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표는 오른쪽과 같다.

x0⋯a/2⋯af′(x)++0−−f(x)0↗극댓값a2/4↘0\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&0&\cdots&a/2&\cdots&a\\\hline f^{\prime}(x)&+&+&0&-&-\\\hline f(x)&0&\nearrow&\begin{gathered}\text{극댓값}\\a^2/4\end{gathered}&\searrow&0\end{array}

따라서 f(x)\displaystyle f(x)의 최댓값 a24\displaystyle \frac{a^2}{4}는 x=a2\displaystyle x = \frac{a}{2}일 때 취한다. 답: x=a2\displaystyle x = \frac{a}{2}

(2) 함수 f(x)=x3\displaystyle f(x) = x^3는 f′(x)=3x2\displaystyle f^{\prime}(x) = 3x^2이므로 x=0\displaystyle x = 0에서 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x) = 0이다. 그러나 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수는 언제나 증가하므로, x=0\displaystyle x = 0에서 극값을 취하지 않는다.

x⋯0⋯f′(x)+0+f(x)↗0↗\displaystyle \begin{array}{c|ccc}x&\cdots&0&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&0&\nearrow\end{array}

(3) f(x)=x3−3x\displaystyle f(x) = x^3 - 3x라 하면, f′(x)=3(x−1)(x+1)=3x2−3\displaystyle f^{\prime}( x) = 3 (x - 1) (x + 1) = 3x^2 - 3이므로 f′(−1)=f′(1)=0\displaystyle f^{\prime}( -1) = f^{\prime}(1 )= 0이다. 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수의 경우에 f(−1)\displaystyle f(-1)은 극댓값이고 f(1)\displaystyle f (1)은 극솟값이다.

x⋯−1⋯1⋯f′(x)+0−0+f(x)↗극댓값↘극솟값↗\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&\cdots&-1&\cdots&1&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&\text{극댓값}&\searrow&\text{극솟값}&\nearrow\end{array}

(4) 삼차함수 f\displaystyle f의 도함수가 f′(x)=3x2−6x\displaystyle f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x이므로 f(x)=x3−3x2+c\displaystyle f(x) = x^3 - 3x^2 + c이다. 극솟값이 0이므로, 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 극솟값 f(2)=8−12+c=0\displaystyle f(2) = 8 - 12 + c = 0에서 c=4\displaystyle c =4이다. 곧, f(x)=x3−3x2+4\displaystyle f(x) = x^3 - 3x^2 + 4이다. 그러므로 f(−1)=0\displaystyle f(-1) = 0, f(0)=4\displaystyle f(0) = 4, f(2)=0\displaystyle f(2) = 0, f(3)=4\displaystyle f(3) = 4이다. 따라서 구간 [−1,3]\displaystyle [ -1, 3]에서 f\displaystyle f의 최댓값은 4이다. 답: 4

x−1⋯0⋯2⋯3f′(x)+0−0+f(x)↗극댓값↘0극솟값↗\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc}x&-1&\cdots&0&\cdots&2&\cdots&3\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline f(x)&&\nearrow&\text{극댓값}&\searrow&\begin{gathered}0\\\text{극솟값}\end{gathered}&\nearrow&\end{array}

(5) f′(x)=e−x−xe−x=e−x(1−x)\displaystyle f^{\prime}(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x} ( 1 - x)이므로, x=1\displaystyle x =1일 때 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x) = 0이다. 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수의 경우에 f(1)\displaystyle f(1)은 극댓값이다. f(−1)=−e\displaystyle f( -1 ) = - e, f(1)=1e\displaystyle f(1) = \frac{1}{e}, f(3)=3e3\displaystyle f(3) = \frac{3}{e^3}이다. 따라서 구간 [−1,3]\displaystyle [-1, 3]에서 f\displaystyle f의 최댓값은 1e\displaystyle \frac{1}{e}이고 최솟값은 −e\displaystyle - e이다. 답: 최댓값 1e\displaystyle \frac{1}{e}, 최솟값 −e\displaystyle - e

x−1⋯1⋯3f′(x)+0−f(x)−e↗1e극댓값↘3e3\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&-1&\cdots&1&\cdots&3\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-&\\\hline f(x)&-e&\nearrow&\begin{gathered}\frac1e\\\text{극댓값}\end{gathered}&\searrow&\frac3{e^3}\end{array}

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