자연계열 1번

(1) 주어진 수 $\displaystyle a$를 음이 아닌 두 수의 합으로 나타낼 때, 그 한 수를 변수 $\displaystyle x$로 놓으면 두 수의 곱은 $\displaystyle x$의 함수 $\displaystyle f(x) = x ( a - x)$이다. 이때 함수 $\displaystyle f$의 정의역은 $\displaystyle [0, a ]$이다. $\displaystyle f$는 다항함수이므로, $\displaystyle f$의 최댓값은 구간 $\displaystyle [0, a ]$에서 $\displaystyle f(x)$의 극값 및 $\displaystyle f(0)$과 $\displaystyle f(a)$ 중에서 최대인 값이다. $\displaystyle f^{\prime}( x) = a - 2x =0$에서 $\displaystyle x = \frac{a}{2}$이므로, $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표는 오른쪽과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&0&\cdots&a/2&\cdots&a\\\hline f^{\prime}(x)&+&+&0&-&-\\\hline f(x)&0&\nearrow&\begin{gathered}\text{극댓값}\\a^2/4\end{gathered}&\searrow&0\end{array}$

따라서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값 $\displaystyle \frac{a^2}{4}$는 $\displaystyle x = \frac{a}{2}$일 때 취한다. 답: $\displaystyle x = \frac{a}{2}$

(2) 함수 $\displaystyle f(x) = x^3$는 $\displaystyle f^{\prime}(x) = 3x^2$이므로 $\displaystyle x = 0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x) = 0$이다. 그러나 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수는 언제나 증가하므로, $\displaystyle x = 0$에서 극값을 취하지 않는다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccc}x&\cdots&0&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&0&\nearrow\end{array}$

(3) $\displaystyle f(x) = x^3 - 3x$라 하면, $\displaystyle f^{\prime}( x) = 3 (x - 1) (x + 1) = 3x^2 - 3$이므로 $\displaystyle f^{\prime}( -1) = f^{\prime}(1 )= 0$이다. 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수의 경우에 $\displaystyle f(-1)$은 극댓값이고 $\displaystyle f (1)$은 극솟값이다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&\cdots&-1&\cdots&1&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&\text{극댓값}&\searrow&\text{극솟값}&\nearrow\end{array}$

(4) 삼차함수 $\displaystyle f$의 도함수가 $\displaystyle f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $\displaystyle f(x) = x^3 - 3x^2 + c$이다. 극솟값이 0이므로, 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 극솟값 $\displaystyle f(2) = 8 - 12 + c = 0$에서 $\displaystyle c =4$이다. 곧, $\displaystyle f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$이다. 그러므로 $\displaystyle f(-1) = 0$, $\displaystyle f(0) = 4$, $\displaystyle f(2) = 0$, $\displaystyle f(3) = 4$이다. 따라서 구간 $\displaystyle [ -1, 3]$에서 $\displaystyle f$의 최댓값은 4이다. 답: 4

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc}x&-1&\cdots&0&\cdots&2&\cdots&3\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline f(x)&&\nearrow&\text{극댓값}&\searrow&\begin{gathered}0\\\text{극솟값}\end{gathered}&\nearrow&\end{array}$

(5) $\displaystyle f^{\prime}(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x} ( 1 - x)$이므로, $\displaystyle x =1$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x) = 0$이다. 증가와 감소를 나타내는 오른쪽 표에서 알 수 있듯이, 이 함수의 경우에 $\displaystyle f(1)$은 극댓값이다. $\displaystyle f( -1 ) = - e$, $\displaystyle f(1) = \frac{1}{e}$, $\displaystyle f(3) = \frac{3}{e^3}$이다. 따라서 구간 $\displaystyle [-1, 3]$에서 $\displaystyle f$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{e}$이고 최솟값은 $\displaystyle - e$이다. 답: 최댓값 $\displaystyle \frac{1}{e}$, 최솟값 $\displaystyle - e$

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&-1&\cdots&1&\cdots&3\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-&\\\hline f(x)&-e&\nearrow&\begin{gathered}\frac1e\\\text{극댓값}\end{gathered}&\searrow&\frac3{e^3}\end{array}$