자연계열 1번

출제의도 및 해설

[문항 1]

[논제 1]

출제의도 : 수학의 영역 중에서 여러 분야에서 가장 많이 응용되고 있는 것 중의 하나인 삼각함수를 제대로 이해하고 있으며, 삼각법을 이용할 수 있는 창의력을 살펴보고자 하였다.

문제해설 : 우선 폭포를 지표면과 직각으로 설정한 후 꼭대기점을 설정하고, 강을 건널 수 없기 때문에 지상에서 두 지점을 설정하여 폭포의 꼭대기점과의 각도를 설정하여야 한다. 설정된 각도의 탄젠트값을 사용하여 지상위의 두 지점과 높이와의 관계식을 얻은 후, 두 지점과 폭포와 거리 변수를 제거하여 지상위의 두 지점간의 거리, 두 지점과 폭포 꼭대기와 이루는 각도들로 이루어진 식을 만들어서 폭포의 높이를 잴 수 있다는 것을 보여 주어야 한다.

[논제 2]

출제의도 : 수학교과의 도형에서 원의 방정식을 이용하여 논제에 맞는 좌표위의 원의 방정식을 설정할 수 있는 창의력과 동시에 논제에 대한 이해력을 묻고자 하여 출제되었다.

문제해설 : 택배비가 1:2이라는 것은 거리의 비가 2:1라는 것이 이해력의 첫 번째 단계이다. 이로부터 택배비용이 동일한 지점을 설정하고, 좌표평면위에 두 택배회사의 지점을 설정할 줄 알아야 한다. 다음 단계에서는 죄표평면위의 원의 방정식을 구하여 원을 그리고 택배비용이 같은 지점은 얻어진 원위에 위치하며, B지점 택배회사의 택배비용이 저렴한 구역은 원 안에 위치함을 표시한다.

[논제 3]

출제의도 : 평면도형을 다룰 때에는 직선의 위치관계와 교점 등을 다루게 된다. 따라서 평면위에서 최단 거리를 “점과 직선사이의 거리”로써 논리적으로 구할 수 있는지를 알아보고자 하였다.

문제해설 : 우선 H선상에 Q이외의 다른 점을 설정하고 $\displaystyle \overline{AQ}=\overline{A^{\prime}Q}$ 라는 사실을 인식하여야 한다. A'-->Q-->B가 일직선상으로 놓여지며 설정된 다른 지점을 통과하는 경로는 일직선이 아니기 때문에 A-->Q-->B가 최단거리가 됨이 증명된다.

2008학년도 모의논술고사 우수 답안 및 평가

[문항 1-1] [답안 (A학생)]

먼저 <그림1>에서 처럼 강의 폭 $\displaystyle y$를 구해야 한다. 폭포의 바닥의 점 $\displaystyle C$와 육지가 수직으로 만나는 곳에 점 $\displaystyle A$를 잡고 $\displaystyle A$와 적당히 떨어진 곳에 점 $\displaystyle B$를 잡는다. 직선 $\displaystyle AB$의 길이 $\displaystyle x$를 측정하고, 각 $\displaystyle CBA$인 $\displaystyle a$를 측정한다. 이때 $\displaystyle \tan a=\frac yx$가 되므로 강의 폭 $\displaystyle y=x\tan a$가 된다. 그리고 <그림2>에서와 같이 폭포의 꼭대기에 점 $\displaystyle D$를 잡고, 각 $\displaystyle DAC$인 $\displaystyle b$를 측정한다. 폭포의 높이 $\displaystyle DC$를 $\displaystyle z$라 하면 $\displaystyle \tan a=\frac zy$가 되고, $\displaystyle z=y\tan b$가 된다. 따라서 $\displaystyle z=x\tan a\times\tan b$가 되므로 $\displaystyle AB$사이의 거리와 각 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$만 구하면 폭포의 높이를 측정할 수 있다.Correction. 답안의 $\displaystyle \tan a=\dfrac zy$에서 $\displaystyle a$는 $\displaystyle b$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[평가]

문항 1-1의 주안점은 강을 건너지 않고 폭포의 높이를 알아보는 것이다. ‘강을 건너지 않고’라는 가정은 ‘각 폭의 길이는 알 수 없다’라는 것을 의미하는 것이다. 위 학생은 문항 1-1을 두 단계 과정을 이용하여 설명하였다. 1단계에서는 <그림1>에서와 같이 강폭의 길이를 구하는 방법을, 2단계에서는 1단계에서 알아낸 강폭의 길이를 이용하여 폭포의 높이를 구하는 방법을 설명하였다.

이 학생의 답안은 이 모든 단계를 매우 논리적으로 또한 아주 정밀한 그림을 이용하여 논술한 매우 훌륭한 답안이다.

[문항 1-2] [답안 (B학생)]

$\displaystyle A=(0,0)$, $\displaystyle B=(6,0)$으로 좌표 평면화 하기.

$\displaystyle A$거리$\displaystyle =a$, $\displaystyle B$거리$\displaystyle =b$일때 $\displaystyle A$비용$\displaystyle =1000a$, $\displaystyle B$비용$\displaystyle =2000b$

$\displaystyle A$지점의 비용$\displaystyle >$ $\displaystyle B$지점의 비용 $\displaystyle =1000a>2000b$

$\displaystyle \therefore a>2b$

먼저 비용이 같아지는 지점인 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 $\displaystyle 2:1$ 내분점과 외분점을 구하면 각각 $\displaystyle (4,0)$ $\displaystyle (12,0)$이다. 그런데 $\displaystyle 0\le x<4$일 경우$\displaystyle \Rightarrow A$가 쌈, $\displaystyle 4<x<12$일 경우$\displaystyle \Rightarrow B$가 쌈, $\displaystyle x>12$일 경우$\displaystyle \Rightarrow A$가 싸다. $\displaystyle \therefore4<x<12$이다. 이는 중심이 $\displaystyle (8,0)$이고 반지름이 $\displaystyle 4$인 원이다.

$\displaystyle \therefore (x-8)^2+y^2=16$

[평가]

택배 비용과 거리와의 관계를 고려하여, 비용이 같아지는 지점은 거리의 비가 2:1이라는 것을 이해하여 좌표 위에 지점을 표시하였고, 좌표 평면 위의 원의 방정식을 구하여 택배 비용이 같은 구역을 구할 수 있었다. 이때 본 문항이 요구한 것은 “A지점 회사와 B지점 회사의 택배 비용이 동일한 지점과 B지점 택배 회사가 A지점 택배 회사보다 택배 비용이 비싼 구역과 저렴한 구역을 구하는 방법을 설명하는 것”이므로, 원 둘레에서는 택배 비용이 같고, B지점 택배 회사의 택배 비용이 저렴한 구역은 원 이내의 지역이며, 나머지 지역은 A지점 택배 회사의 비용이 더 싸다라는 것을 명시하는 것이 필요하고, 좌표 평면 위에 원을 그려서 표시를 해 주면 더욱 좋은 답안이 될 수 있었을 것이다.

[문항 1-3] [답안 (C학생)]

점 $\displaystyle Q$와 $\displaystyle Q$보다 왼쪽에 있는 점을 $\displaystyle \alpha$, 오른쪽에 있는 점을 $\displaystyle \beta$라 두자.

이때, 두 선분의 합은 대칭점과 $\displaystyle B$가 직선이 되는 $\displaystyle Q$에서 최소가 된다,

[평가]

H선상의 다른 점 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 설정한 후, $\displaystyle \overline{A^{\prime}\alpha}+\overline{\alpha B}$, $\displaystyle \overline{A^{\prime\prime}Q}+\overline{QB}$, $\displaystyle \overline{A^{\prime\prime\prime}\beta}+\overline{\beta B}$를 비교하여 두 선분의 합은 대칭점과 B가 직선이 되는 Q를 통과할 때 최소임을 밝힘으로써, $\displaystyle A\to Q\to B$가 일직선상으로 놓여 최단거리가 됨을 증명하였다.