자연계열 1번

입체는 반지름이 $\displaystyle 1$인 구의 중심을 삼각형의 모든 점으로 움직이면서 얻어지는 입체이다. 먼저 입체의 개괄적 형태는 다음과 같다. 이를 적절히 설명하면 된다.

입체의 체적을 구하기 위하여 입체를 다음의 $\displaystyle 7$부분으로 나눈다. 먼저, 삼각형으로 부터의 거리가 $\displaystyle 1$보다 작거나 같은 점들의 집합은

1) 삼각형에 수직으로 아래와 위쪽으로 높이가 $\displaystyle 1$인 삼각기둥 부분,

2) 각 변으로부터 거리가 $\displaystyle 1$보다 작거나 같은 부분으로 삼각기둥에 포함되지 않는 반지름 $\displaystyle 1$이고 높이가 변의 길이인 원기둥을 수직으로 $\displaystyle 2$등분한 부분,

3) 각 꼭짓점에서 거리가 $\displaystyle 1$보다 작거나 같은 부분으로 앞서 설명된 삼각기둥, 반원기둥에 포함되지 않는 부분으로 이루어진다.

삼각기둥은 제시문 (나)의 삼각형의 넓이의 공식을 이용하면 구할 수 있고, 반원기둥 부분은 제시문 (가)를 이용하여 변의 길이를 구하여 그 체적을 구할 수 있다. 그리고 각 꼭짓점에서 거리가 1보다 작거나 같은 부분 중 앞서 설명된 삼각기둥과 반원기둥에 포함되지 않는 부분으로, 다음의 그림과 같이 각각 중심각이 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$가 되도록 구를 수직으로 자른 형태이다. 이때 중심각 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$는 각각 ($\displaystyle 360^\circ-180^\circ-$삼각형의 내각)이 된다. 따라서, 이 세 부분들을 합하면 중심각이 ($\displaystyle 3\times180^\circ-$삼각형의 내각의 합$\displaystyle =360^\circ$)이므로 반지름이 1인 구임을 다음의 그림과 같이 알 수 있다. 이 부분들의 체적은 $\displaystyle \frac43\pi$이다.

앞서 설명한 삼각기둥의 체적은 ($\displaystyle 2\times$삼각형의 넓이)$\displaystyle =8\sqrt5$이고, 반원기둥의 부분의 체적은 밑넓이 곱하기 세변의 길이의 합으로 $\displaystyle \frac\pi2\times(7+6+3)=8\pi$이다. 이를 모두 더하여 다음의 체적을 얻는다.

$\displaystyle 8\sqrt5+\left(8+\frac43\right)\pi=8\sqrt5+\frac{28}3\pi.$