수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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경기대 2009학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2009su/jayeon_1

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문제

[문항 1] 제시문 가와 나를 이용하여 세 점 A(2,1,0)\displaystyle \mathrm{A}(2, 1, 0), B(4,5,4)\displaystyle \mathrm{B}(4, 5, 4), C(5,3,6)\displaystyle \mathrm{C}(5, 3, 6)를 꼭짓점으로 가지는 삼각형으로부터 거리가 1\displaystyle 1보다 작거나 같은 점의 집합인 입체의 형태를 설명하시오. 그리고 이 입체의 체적을 구하고 그 과정을 설명하시오 (그림을 이용하여 설명할 수 있음).

[가] 두 점 A(x1,y1,z1)\displaystyle {\mathrm{A}}(x_1 , y_1 , z_1 ), B(x2,y2,z2)\displaystyle {\mathrm{B}}(x_2 , y_2 , z_2 ) 사이의 거리는

AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.

특히, 원점 O\displaystyle O와 점 P(x,y,z)\displaystyle P(x,y,z) 사이의 거리는

OP‾=x2+y2+z2.\displaystyle \overline{OP}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

한 점 A(x,y,z)\displaystyle {\mathrm{A}}(x , y , z )와 집합 W\displaystyle W의 거리는 W\displaystyle W의 모든 점 w\displaystyle w와 A(x,y,z)\displaystyle {\mathrm{A}}(x , y , z )의 거리의 최솟값이다. 예를 들면, 공간상의 한 점 A(x0,y0,z0)\displaystyle {\mathrm{A}}(x_0 , y_0 , z_0 )와 평면 ax+by+cz+d=0\displaystyle ax+by+cz+d =0과의 거리 D\displaystyle D는 정사영을 이용하여 구하면,

D=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2.\displaystyle D=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

『고등학교 수학』

[나] 헤론은 기원전 1\displaystyle 1세기 경 알렉산드리아의 수학자로, 고대 바빌로니아와 이집트의 실용수학의 전통을 이어 받아 실제적인 수학 연구를 주로 하였으며, 「측량술」이라는 저서를 남겼다. 헤론이 남긴 주요 업적 중의 하나는 삼각형의 세 변의 길이를 알 때, 그 넓이를 구하는 헤론의 공식이다. 즉, △ABC\displaystyle \triangle ABC의 세 변의 길이가 a,b,c\displaystyle a, b, c일 때, 넓이 S\displaystyle S는

S=s(s−a)(s−b)(s−c)\displaystyle S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

단, s=12(a+b+c)\displaystyle s=\frac12(a+b+c)이다.

『고등학교 수학』

해설강의 준비중

입체도형의 부피

관련 개념강의 준비중

경기대 2009학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kyonggi/2009su/jayeon_1

입체는 반지름이 1\displaystyle 1인 구의 중심을 삼각형의 모든 점으로 움직이면서 얻어지는 입체이다. 먼저 입체의 개괄적 형태는 다음과 같다. 이를 적절히 설명하면 된다.

삼각형 주위 입체를 삼각기둥, 반원기둥, 구의 부분으로 분해

입체의 체적을 구하기 위하여 입체를 다음의 7\displaystyle 7부분으로 나눈다. 먼저, 삼각형으로 부터의 거리가 1\displaystyle 1보다 작거나 같은 점들의 집합은

1) 삼각형에 수직으로 아래와 위쪽으로 높이가 1\displaystyle 1인 삼각기둥 부분,

2) 각 변으로부터 거리가 1\displaystyle 1보다 작거나 같은 부분으로 삼각기둥에 포함되지 않는 반지름 1\displaystyle 1이고 높이가 변의 길이인 원기둥을 수직으로 2\displaystyle 2등분한 부분,

3) 각 꼭짓점에서 거리가 1\displaystyle 1보다 작거나 같은 부분으로 앞서 설명된 삼각기둥, 반원기둥에 포함되지 않는 부분으로 이루어진다.

삼각기둥은 제시문 (나)의 삼각형의 넓이의 공식을 이용하면 구할 수 있고, 반원기둥 부분은 제시문 (가)를 이용하여 변의 길이를 구하여 그 체적을 구할 수 있다. 그리고 각 꼭짓점에서 거리가 1보다 작거나 같은 부분 중 앞서 설명된 삼각기둥과 반원기둥에 포함되지 않는 부분으로, 다음의 그림과 같이 각각 중심각이 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c가 되도록 구를 수직으로 자른 형태이다. 이때 중심각 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c는 각각 (360∘−180∘−\displaystyle 360^\circ-180^\circ-삼각형의 내각)이 된다. 따라서, 이 세 부분들을 합하면 중심각이 (3×180∘−\displaystyle 3\times180^\circ-삼각형의 내각의 합=360∘\displaystyle =360^\circ)이므로 반지름이 1인 구임을 다음의 그림과 같이 알 수 있다. 이 부분들의 체적은 43π\displaystyle \frac43\pi이다.

세 꼭짓점 주위 구의 부분들을 합하면 하나의 구

앞서 설명한 삼각기둥의 체적은 (2×\displaystyle 2\times삼각형의 넓이)=85\displaystyle =8\sqrt5이고, 반원기둥의 부분의 체적은 밑넓이 곱하기 세변의 길이의 합으로 π2×(7+6+3)=8π\displaystyle \frac\pi2\times(7+6+3)=8\pi이다. 이를 모두 더하여 다음의 체적을 얻는다.

85+(8+43)π=85+283π.\displaystyle 8\sqrt5+\left(8+\frac43\right)\pi=8\sqrt5+\frac{28}3\pi.

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