자연계열 1번

내부를 포함하는 정사면체의 임의의 점을 정하고, 그 점을 중심으로 정사면체를 $\displaystyle 3$차원 공간에서 자유롭게 회전시킬 때, 정사면체가 지나간 자취는 중심과 정사면체의 다른 점을 연결한 선분을 $\displaystyle 3$차원 공간에서 자유롭게 회전시킨 자취들의 합집합이 된다. 선분을 자유롭게 회전시킨 자취는 구가 되는데, 중심이 동일하므로 정사면체의 임의의 점을 중심으로 회전시킬 때, 정사면체가 지나간 자취는 구가 된다.

먼저 구의 최대 부피와 최소 부피가 되는 경우를 생각해야 한다. 구의 부피는 반지름의 세제곱에 비례하므로 반지름이 최대가 되는 경우와 최소가 되는 경우에 부피가 각각 최대, 최소가 된다. 정사면체의 내부에 길이가 모서리의 길이보다 큰 선분을 포함시킬 수 없으므로 반지름이 최대가 되는 경우는 정사면체의 한 꼭짓점을 중심으로 하는 경우이며 이때 반지름은 $\displaystyle 2$이다. 그리고 제시문 (나)를 볼 때, 정사면체의 무게 중심을 중심으로 정사면체를 회전시키면 정사면체의 무게 중심에서 각 꼭짓점을 연결한 선분들이 그 선분의 길이를 반지름으로 하는 정사면체의 외접구를 생성함을 알 수 있다. 정사면체의 내부에 있는 어떤 점을 중심으로 회전시키더라도 외접구보다 작은 구를 생성할 수 없으므로 반지름이 최소가 되는 경우는 정사면체의 무게 중심을 중심으로 정사면체를 회전시키는 경우임을 알 수 있다.

이제 정사면체의 무게 중심에서 한 꼭짓점에 이르는 거리를 계산하면 된다. 정사면체의 한 면을 밑면으로 하고, 무게 중심을 꼭짓점으로 하는 삼각뿔을 생각하면, 정사면체는 이 삼각뿔 $\displaystyle 4$개로 이루어져 있다. 이 삼각뿔은 부피가 정사면체의 $\displaystyle 1/4$이고 밑면은 동일하므로 높이도 정사면체의 $\displaystyle 1/4$이다. 정사면체의 꼭짓점과 무게 중심, 밑면 삼각형의 무게 중심은 일직선 위에 있으며, 이 직선은 밑면과 수직이다. 정사면체의 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 길이가 정사면체의 높이이고, 정사면체의 무게 중심에서 밑면에 내린 수선의 길이는 부피가 $\displaystyle 1/4$인 삼각뿔의 높이이다. 따라서 무게 중심에서 한 꼭짓점에 이르는 거리는 정사면체 높이의 $\displaystyle 3/4$이다.

피타고라스 정리를 이용하여 한 모서리의 길이가 2인 정사면체의 높이를 구하면 $\displaystyle \sqrt{2^2-\left(\frac23\sqrt3\right)^2}=\sqrt{\frac83}=\frac{2\sqrt6}3$이다. 무게 중심에서 한 꼭짓점에 이르는 거리는 정사면체 높이의 $\displaystyle \frac34$이므로 부피가 최소가 되는 경우의 반지름은 $\displaystyle \frac{\sqrt6}2$이다. 따라서 최대 부피는 $\displaystyle \frac{32}3\pi$, 최소 부피는 $\displaystyle \sqrt6\pi$이고 차는 $\displaystyle \left(\frac{32}3-\sqrt6\right)\pi$이다.