자연계열 1번

다음 그림과 같이 북위 $\displaystyle 45^\circ$에 있는 지구상의 두 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$라고 하고, 구의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}$라고 하자. 또한 제시문 (가)에 주어진 바와 같이 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나면서 적도면에 평행한 평면, 즉 북위 $\displaystyle 45^\circ$선을 지나는 평면과 지구면이 만나는 교선은 원이 되는데, 이 원의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}$이라고 하자.

점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{O}$, $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}$을 $\displaystyle 3$차원 공간에 표시하고, 이를 각각 정면과 윗면 방향에서 $\displaystyle 2$차원 평면에 나타낸 그림은 다음과 같다.

또한 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 대권과 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 함께 $\displaystyle 3$차원 공간에 표시하고, 대권에 나타낸 그림은 다음과 같고, 이때 호 $\displaystyle \mathrm{A}B$가 대권 항로이다.

그러면 두 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$를 지나는 대권 항로의 중심각($\displaystyle \alpha$)은 각 $\displaystyle AOB$이고 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ 사이의 경도 차이($\displaystyle \beta$)는 각 $\displaystyle AO^{\prime}B$이다. 그리고 삼각형 $\displaystyle AOB$와 삼각형 $\displaystyle AO^{\prime}B$는 모두 이등변삼각형이며, $\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}=R$이고, $\displaystyle \overline{O^{\prime}A}=\overline{O^{\prime}B}=R^{\prime}=R\cos45^\circ=\frac R{\sqrt2}$이다.

[다]에 주어진 코사인법칙을 삼각형 $\displaystyle AOB$와 $\displaystyle AO^{\prime}B$에 각각 적용하면 다음과 같다.

$\displaystyle \overline{AB}^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cos\alpha=2R^2-2R^2\cos\alpha$

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{AB}^2&=(R^{\prime})^2+(R^{\prime})^2-2R^{\prime}\cdot R^{\prime}\cos\beta\\&=2(R^{\prime})^2-2(R^{\prime})^2\cos\beta=R^2-R^2\cos\beta\end{aligned}$

위 두 식으로부터

$\displaystyle 2R^2-2R^2\cos\alpha=R^2-R^2\cos\beta$

$\displaystyle 2\cos\alpha-\cos\beta=1$

이므로 두 점을 지나는 대권 항로의 중심각($\displaystyle \alpha$)와 두 점 사이의 경도 차이($\displaystyle \beta$)의 관계는 다음과 같다.

$\displaystyle \cos\alpha=\frac{1+\cos\beta}2$

이제 북위 $\displaystyle 45^\circ$, 동경 $\displaystyle 45^\circ$에서 북위 $\displaystyle 45^\circ$, 동경 $\displaystyle 135^\circ$의 위치로 이동하는 경우를 생각하자. 이때, 두 점 사이의 경도 차이 $\displaystyle \beta = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$이므로

$\displaystyle \cos\alpha=\frac{1+\cos90^\circ}2=\frac12$

이고, 따라서 $\displaystyle \alpha=60^\circ$이다.

[가]에서 제시한 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$ 사이의 대권 항로는 앞의 그림에서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{AOB}$의 호 $\displaystyle \mathrm{A}B$가 되므로 그 길이 $\displaystyle L_1$은 다음과 같다.

$\displaystyle L_1=2\pi R\cdot\frac{60}{360}=2\pi R\cdot\frac16=\frac13\pi R$

또한, $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$가 동일 위도에 있으므로 항정선은 경선에 수직인 방향으로 결정되며, 따라서 동일한 위도를 따라가는 곡선으로 결정된다. 이는 앞의 그림에서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{AO}'B$의 호 $\displaystyle \mathrm{A}B$가 되며, [나]에서 제시한 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$ 사이의 항정선 항로는 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{A}O^{\prime}B$의 호 $\displaystyle \mathrm{A}B$가 되므로 그 길이 $\displaystyle L_2$는 다음과 같다.

$\displaystyle L_2=2\pi R^{\prime}\cdot\frac{90}{360}=2\pi\frac R{\sqrt2}\cdot\frac14=\frac{\sqrt2}4\pi R$

$\displaystyle \frac13\fallingdotseq0.3333$이고 $\displaystyle \frac{\sqrt2}4\fallingdotseq0.3536$이므로 항정선 항로의 길이가 대권 항로의 길이보다 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt2}4-\frac13\right)\pi R\fallingdotseq0.0203\pi R$ 만큼 길다고 할 수 있다.