자연계열 1번

[1.1] (1)에 따라서 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x(x-1)g(x)$이고 $\displaystyle g(0)=1$이다. (2)에 따라서 $\displaystyle f(-1)=2g(-1)=4$이므로 $\displaystyle g(-1)=2$이고, (3)에 따라서$\displaystyle g(x)=(x+1)^n+a_{n-1}(x+1)^{n-1}+\cdots+a_1(x+1)+2$이다. 또 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-1)g(x)+xg(x)+x(x-1)g^{\prime}(x)$이므로 (4)에 의하여$\displaystyle f^{\prime}(-1)=-3g(-1)+2g^{\prime}(-1)=-6+2g^{\prime}(-1)=-20$즉 $\displaystyle g^{\prime}(-1)=-7$이다. 그런데$\displaystyle g^{\prime}(x)=n(x+1)^{n-1}+\cdots+2a_2(x+1)+a_1$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(-1)=a_1=-7$이다. 마지막으로$\displaystyle g(0)=1+a_{n-1}+\cdots+a_2-7+2=1$이므로$\displaystyle a_{n-1}+\cdots+a_2=5$이다. 따라서 차수가 가장 낮은 경우는 $\displaystyle n=3$이고 $\displaystyle a_2=5$, 즉$\displaystyle f(x)=x(x-1)[(x+1)^3+5(x+1)^2-7(x+1)+2]$이다.

[1.2] $\displaystyle Q(x)=P(x-1)$이라 하면 $\displaystyle Q(\alpha_i+1)=P(\alpha_i)=0$이므로 $\displaystyle \alpha_i+1$은 $\displaystyle Q(x)=0$의 근이다. 따라서 구하는 방정식은$\displaystyle a_n(x-1)^n+\cdots+a_1(x-1)+a_0=0$이다.

[1.3] $\displaystyle R(x)=P\left(\frac1x\right)$이라 하면 $\displaystyle R\left(\frac1{\alpha_i}\right)=P(\alpha_i)=0$이므로 $\displaystyle \frac1{\alpha_i}$은$\displaystyle R(x)=a_n\frac1{x^n}+a_{n-1}\frac1{x^{n-1}}+\cdots+a_1\frac1x+a_0=0$의 근이다. 따라서 구하는 $\displaystyle n$차방정식은$\displaystyle x^nR(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0$이다.

[1.4] $\displaystyle f(0)=f(1)=0$이므로 $\displaystyle \alpha_1=0,\alpha_2=1$이고 $\displaystyle \alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$는$\displaystyle g(x)=(x+1)^3+5(x+1)^2-7(x+1)+2=0$의 근이다. [1.2]에 따라서 $\displaystyle \alpha_3+1,\alpha_4+1,\alpha_5+1$이 근이 되는 삼차방정식은$\displaystyle h(x)=g(x-1)=x^3+5x^2-7x+2=0$이고, [1.3]에 따라서 $\displaystyle \frac1{\alpha_3+1},\frac1{\alpha_4+1},\frac1{\alpha_5+1}$이 근이 되는 삼차방정식은$\displaystyle x^3h\left(\frac1x\right)=2x^3-7x^2+5x+1=0$이다. 따라서 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따라서$\displaystyle \frac1{\alpha_3+1}+\frac1{\alpha_4+1}+\frac1{\alpha_5+1}=\frac72$이므로$\displaystyle \frac1{\alpha_1+1}+\frac1{\alpha_2+1}+\frac1{\alpha_3+1}+\frac1{\alpha_4+1}+\frac1{\alpha_5+1}=1+\frac12+\frac72=5$이다.