서울과학기술대 2017학년도 모의논술 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.(34점)

(가) 함수의 극한값 계산극한 $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 이 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=0$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0$ 이다.

(나) 인수정리 $\displaystyle x$ 에 대한 다항식 $\displaystyle P(x)$ 에 대하여 $\displaystyle x-a$ 가 $\displaystyle P(x)$ 의 인수일 필요충분조건은 $\displaystyle P(a)=0$ 이다.

(다) 삼차방정식의 근과 계수의 관계삼차방정식 $\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0$ 의 세 근을 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-\frac ba,\quad\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca,\quad\alpha\beta\gamma=-\frac da$

[1.1] 다음 조건을 모두 만족하는 다항식 $\displaystyle f(x)$ 중에서 차수가 가장 낮은 것을 구하시오.(12점)

(1) $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x(x-1)}=1$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x(x-1)}$ 가 존재한다.

(2) $\displaystyle f(-1)=4$

(3) 최고차항의 계수는 $\displaystyle 1$ 이다.

(4) $\displaystyle f^{\prime}(-1)=-20$

[1.2] $\displaystyle n$ 차방정식 $\displaystyle P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0=0$ 의 근이 $\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 일 때 $\displaystyle \alpha_1+1,\ldots,\alpha_n+1$ 을 근으로 갖는 $\displaystyle n$ 차방정식을 구하시오.(8점)

[1.3] $\displaystyle n$ 차방정식 $\displaystyle P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0=0$ (단, $\displaystyle a_0\neq0$ )의 근이 $\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 일 때 $\displaystyle \frac1{\alpha_1},\ldots,\frac1{\alpha_n}$ 을 근으로 갖는 $\displaystyle n$ 차방정식을 구하시오.(8점)

[1.4] 위의 [1.1]에서 구한 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle n$ 차 다항식이고 $\displaystyle f(x)=0$ 의 근이 $\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 일 때, [1.2]와 [1.3]을 이용하여 다음 값을 구하시오.(6점) $\displaystyle \frac1{\alpha_1+1}+\cdots+\frac1{\alpha_n+1}$

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[1.1] (1)에 따라서 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x(x-1)g(x)$ 이고 $\displaystyle g(0)=1$ 이다. (2)에 따라서 $\displaystyle f(-1)=2g(-1)=4$ 이므로 $\displaystyle g(-1)=2$ 이고, (3)에 따라서 $\displaystyle g(x)=(x+1)^n+a_{n-1}(x+1)^{n-1}+\cdots+a_1(x+1)+2$ 이다. 또 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-1)g(x)+xg(x)+x(x-1)g^{\prime}(x)$ 이므로 (4)에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(-1)=-3g(-1)+2g^{\prime}(-1)=-6+2g^{\prime}(-1)=-20$ 즉 $\displaystyle g^{\prime}(-1)=-7$ 이다. 그런데 $\displaystyle g^{\prime}(x)=n(x+1)^{n-1}+\cdots+2a_2(x+1)+a_1$ 이므로 $\displaystyle g^{\prime}(-1)=a_1=-7$ 이다. 마지막으로 $\displaystyle g(0)=1+a_{n-1}+\cdots+a_2-7+2=1$ 이므로 $\displaystyle a_{n-1}+\cdots+a_2=5$ 이다. 따라서 차수가 가장 낮은 경우는 $\displaystyle n=3$ 이고 $\displaystyle a_2=5$ , 즉 $\displaystyle f(x)=x(x-1)[(x+1)^3+5(x+1)^2-7(x+1)+2]$ 이다.

[1.2] $\displaystyle Q(x)=P(x-1)$ 이라 하면 $\displaystyle Q(\alpha_i+1)=P(\alpha_i)=0$ 이므로 $\displaystyle \alpha_i+1$ 은 $\displaystyle Q(x)=0$ 의 근이다. 따라서 구하는 방정식은 $\displaystyle a_n(x-1)^n+\cdots+a_1(x-1)+a_0=0$ 이다.

[1.3] $\displaystyle R(x)=P\left(\frac1x\right)$ 이라 하면 $\displaystyle R\left(\frac1{\alpha_i}\right)=P(\alpha_i)=0$ 이므로 $\displaystyle \frac1{\alpha_i}$ 은 $\displaystyle R(x)=a_n\frac1{x^n}+a_{n-1}\frac1{x^{n-1}}+\cdots+a_1\frac1x+a_0=0$ 의 근이다. 따라서 구하는 $\displaystyle n$ 차방정식은 $\displaystyle x^nR(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0$ 이다.

[1.4] $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 이므로 $\displaystyle \alpha_1=0,\alpha_2=1$ 이고 $\displaystyle \alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$ 는 $\displaystyle g(x)=(x+1)^3+5(x+1)^2-7(x+1)+2=0$ 의 근이다. [1.2]에 따라서 $\displaystyle \alpha_3+1,\alpha_4+1,\alpha_5+1$ 이 근이 되는 삼차방정식은 $\displaystyle h(x)=g(x-1)=x^3+5x^2-7x+2=0$ 이고, [1.3]에 따라서 $\displaystyle \frac1{\alpha_3+1},\frac1{\alpha_4+1},\frac1{\alpha_5+1}$ 이 근이 되는 삼차방정식은 $\displaystyle x^3h\left(\frac1x\right)=2x^3-7x^2+5x+1=0$ 이다. 따라서 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 따라서 $\displaystyle \frac1{\alpha_3+1}+\frac1{\alpha_4+1}+\frac1{\alpha_5+1}=\frac72$ 이므로 $\displaystyle \frac1{\alpha_1+1}+\frac1{\alpha_2+1}+\frac1{\alpha_3+1}+\frac1{\alpha_4+1}+\frac1{\alpha_5+1}=1+\frac12+\frac72=5$ 이다.

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