자연계열 3번

<문제 3-ⅰ우수답안 예시>

장난감 자동차의 평균 속도와 평균 이동거리를 추정하기 위해서는, 장난감 자동차의 속도에 관한 함수를 알아야 한다. 그러나 주어진 자료는 5개의 실험결과만이 제시되어 있다. 이를 바탕으로 추정하기 위해서는, 측정하지 않은 시각의 속도를 가정하고 계산해야 한다.

그런데, 홍길동이 측정한 시각을 살펴보면, 일정한 규칙이 있음을 알 수 있다. 4초를 5개의 구간으로 나누면 0~0.8초 0.8초~1.6초, 1.6초 ~ 2.4초, 2.4초~ 3.2초, 3.2초~4초이다. 홍길동이 측정한 시각은 0.4초, 1.2초, 2.0초, 2.8초, 3.6초로 각 구간의 중간 값인 것이다. 이에 따라 장난감 자동차의 속도를 아래와 같이 생각하도록 하자.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}\text{측정시각}&0\sim0.8\text{초}&0.8\sim1.6\text{초}&1.6\sim2.4\text{초}&2.4\sim3.2\text{초}&3.2\sim4\text{초}\\\text{속도}&0.05\mathrm{m/s}&-1.16\mathrm{m/s}&4.00\mathrm{m/s}&-6.34\mathrm{m/s}&4.00\mathrm{m/s}\end{array}$

위의 자료를 바탕으로 변위를 계산해 보면 0.8×(0.05-1.16+4.00-6.34+4.00)=0.44, 즉 평균적인 변위는 0.44m이다. 또한 이동거리를 계산해보면 0.8×(0.05+1.16+4.00+6.34+4.00)=12.44이다. 즉 평균적인 이동거리는 12.44m이다. 평균속도는 변위를 전체 시간값으로 나눈 수치이므로 $\displaystyle \frac{0.44\mathrm m}{4\mathrm s}$=0.11m/s 이다. 그러나, 평균변위, 평균이동거리, 평균속도의 값은 홍길동이 측정하지 않은 시각의 속도값을 가정하고 계산하였다는 점에서 한계를 지닌다.

<문제 3-ⅱ우수답안 예시>

장난감 자동차의 속도에 관한 함수가 있으므로 정확한 변위와 평균 속도를 추정해 볼 수 있다. 변위를 구하기 위해서는 0~4초까지의 각각의 시각과 그 시각에서의 속도값을 곱한 뒤, 모든 값을 합하여야 한다. 문제에서 제시된 v(t)함수를 그래프로 나타내면 x축은 시간

y축은 속도가 된다. 그런데 v(t)의 함수가 직선이 아닌 곡선이므로, 단순히 x축의 값과 y축의 값을 곱하여서 구할 수 없다. 따라서 제시문 3에서 제시된 정적분을 이용하여 변위의 값을 구해야 한다. 정적분을 이용하여 구한 값은 아래와 같다.

$\displaystyle \int_0^4t^2\cos(\pi t)$=$\displaystyle \Biggl[\frac1\pi\sin\pi t\Biggr]_0^4-\int_0^4\left(\frac1\pi\sin\pi t\times2t\right)dt=$$\displaystyle \frac8{\pi^2}$≑0.81Correction. 첫 적분에는 $\displaystyle dt$가, 부분적분의 경계항에는 $\displaystyle t^2$가 빠져 있다. 경계항은 $\displaystyle \Biggl[\frac{t^2}{\pi}\sin\pi t\Biggr]_0^4$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이에따라 평균속도는 $\displaystyle \frac{0.81\mathrm m}{4\mathrm s}$≑0.2m/s이다.

<문제 3-ⅲ우수답안 예시>

<3-1>에서 얻은 값은 시각에 따른 속도를 가정하여 얻은 값이고, <3-2>에서 구한 값은 정확한 속도 함수를 이용하여 구한 값이다.

이 두 값을 비교해보면 변위값은 0.37(m), 평균속도의 값은 0.09m/s의 오차가 생긴다. 이러한 오차를 줄이기 위해서는 더 많은 실험을 하여 측정시각과 속도의 값의 수를 늘려야 한다. 제시문 3에 제시된 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}$의 의미를 생각해 보면, 많은 시각에서 측정할수록 값이 정확해짐을 알 수 있다. 제시문 3은 구분 구적법과 정적분과의 관계를 나타낸 것이다. 구분 구적법에서는 구간을 한없이 많이 나누어 값을 계산 할 수록 그 값의 정확도가 높아진다. 마찬가지로, <3-1>에서도 무수히 많은 시간을 측정하여 계산하여 변위 값을 계산하면 정확도가 높아지게 된다. 또한 각 시각에서 속도의 값을 정확하게 측정하기 위해서는 굴곡이 없는 평평한 면에서 실험을 수행하는 것이 바람직하다.