자연계열 2번

① 공장에서 일정기간동안 암모니아를 최대로 생산하기 위해서는 수득률과 반응속도의 곱이 최대가 되어야 한다. 암모니아를 생성하기 위해서는 반응속도 $\displaystyle k(T)$와 수득률 $\displaystyle P(T)$의 곱이 최대가 되는 온도를 찾아야 한다. $\displaystyle P(T)$는 문제에서 주어져 있고 <제시문 1>에 의하여 반응속도는 $\displaystyle N(T)e^{-\frac{E_a}{RT}}$에 비례한다. 또한 [문제 1-2]에 의하여 $\displaystyle N(T)$는 $\displaystyle \sqrt T$에 비례하므로 일정기간동안 암모니아의 생산량 함수는 다음과 같다.$\displaystyle f(T)=P(T)k(T)=A\sqrt T(-2T+16)e^{-E_a/RT}$

② 미분 $\displaystyle f^{\prime}(T)=AT^{-3/2}(-3T^2-192T+1600)e^{-100/T}$이므로

③ $\displaystyle 3T^2+192T-1600=0$이 되는 $\displaystyle T$를 찾는다($\displaystyle T>0$). 근의 공식에 의하여$\displaystyle T=\frac{-96\pm\sqrt{96^2+4800}}3=-32\pm\frac{\sqrt{14016}}3\ (\approx-32\pm\frac{118.39}3)$를 얻는다.

④ $\displaystyle T$는 절대온도이며 ($\displaystyle \sqrt T$항을 고려하면 $\displaystyle T>0$이어야 하고) $\displaystyle h(T)=-3T^2-192T+1600$은 위로 볼록이므로 $\displaystyle f^{\prime}(T)=0$의 근 중 큰 근인 $\displaystyle -32+\frac{\sqrt{14016}}3$에서

⑤ $\displaystyle f^{\prime}(T)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 그 점에서 극대값이자 최대값을 갖는다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}T&0&\cdots&-32+\frac{\sqrt{14016}}3&\cdots\\\hline f^{\prime}(T)&&+&0&-\\\hline f(T)&&\text{증가}&\text{최대}&\text{감소}\end{array}$