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자연계열 2번

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성균관대 2009학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2009su/jayeon_2

배점10점
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문제

<제시문 1>

과학은 자연현상의 규칙성을 찾아내어 체계적으로 형성된 지식과 이러한 지식을 얻기 위한 모든 탐구활동을 포함한다. 과학에서 탐구하는 자연의 대상은 에너지, 물질, 생명, 지구 등이며 이들을 탐구하는 분야들은 각각 독자적으로 발전하기도 하고, 서로 밀접한 관계 속에 발전하기도 한다. [(주)천재교육, 과학, p.14]

특히, 물질의 변화와 그 변화 과정에서 나타나는 에너지의 변화에 대한 과학적 이해는 인류의 문명을 크게 발전시켰다. 물질이 한 상태에서 다른 상태로 변화할 때, 에너지를 흡수 또는 방출하기도 하는데, 흡수하는 경우를 흡열반응, 방출하는 경우를 발열반응이라 한다.

우리 주변에서 일어나는 화학 반응들은 석회 동굴의 형성이나 철이 녹스는 것 등과 같이 오랜 시간이 걸리는 느린 반응도 있고, 파티 장에서 폭죽의 끈을 잡아당기면 순식간에 폭발하는 반응이나 연소 반응과 같은 빠른 반응도 있다. 반응속도는 증가하는 생성물의 변화량이나 감소하는 반응물의 변화량으로 정의되는데, 일반적으로 온도가 올라가면 반응속도가 커진다. 화학 반응이 일어나기 위해서는 반응 물질을 이루는 성분입자들이 서로 충돌해야 한다. 반응 물질의 농도가 크면 같은 부피 속에 들어 있는 입자수가 많아져서 충돌 횟수가 많아지고 그 결과 반응 속도가 빨라진다. [(주)천재교육, 과학, p.138-148 중에서 발췌]

충돌횟수(N\displaystyle N)는 반응물의 농도뿐만 아니라 분자의 평균속력에도 비례한다고 알려져 있다. 한편 반응이 일어나기 위해서는 반응 물질의 입자들이 충분한 에너지를 가지고 충돌해야 한다. 화학 반응이 일어나기 위해 필요한 최소한의 에너지, 즉 극복해야 할 에너지를 활성화에너지(Ea\displaystyle E_a)라고 한다. 온도가 높아지면 입자 운동이 활발해지며, 반응을 일으키는 데 충분한 에너지를 가진 입자들의 수도 많아지므로 반응속도가 빨라진다. 결국 반응속도는 아래와 같은 식으로 표현이 가능하다.

반응속도 ∝N(T)×e−(EaRT)\displaystyle \propto N(T)\times e^{-\left(\frac{E_a}{RT}\right)}

여기서 R\displaystyle R은 기체상수이고 T\displaystyle T는 온도이다.

[문제 1-2] 충돌횟수가 분자의 평균속력에 비례한다면, 충돌횟수는 온도의 제곱근에도 비례하는 것을 설명하시오. 곧, N(T)∝T\displaystyle N(T)\propto\sqrt T임을 보이시오.

[문제 2] [문제 1]에서 언급한 암모니아의 수득률[P(T)\displaystyle P(T)]이 온도(T\displaystyle T)에 따라 다음과 같은 식으로 표현된다고 한다.

P(T)=−2T+16\displaystyle P(T)=-2T+16

<제시문 1>에 근거하여, 공장을 일정 기간 가동했을 때 암모니아를 최대로 생산할 수 있는 온도를 수학적으로 추론하시오. 단, 암모니아 생성반응의 활성화 에너지는 Ea=830 J/mol\displaystyle E_a=830\ \mathrm{J/mol}이고 R=8.3 J/(K⋅mol)\displaystyle R=8.3\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}이다. 필요한 경우 다음과 같은 미분 공식을 이용할 수 있다.

(ex)′=ex,(xa)′=axa−1\displaystyle (e^x)^{\prime}=e^x,\quad(x^a)^{\prime}=ax^{a-1} (a\displaystyle a는 모든 실수)

[g(f(x))]′=g′(f(x))f′(x)\displaystyle [g(f(x))]^{\prime}=g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)

[참고: 이 문제에서는 가상적으로 임의의 활성화 에너지 값을 가정하였으나 실제 값은 이보다 훨씬 크다.]

해설강의 준비중

성균관대 2009학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/skku/2009su/jayeon_2

1 단계 : 모델링

+2점 · ①

① 공장에서 일정기간동안 암모니아를 최대로 생산하기 위해서는 수득률과 반응속도의 곱이 최대가 되어야 한다. 암모니아를 생성하기 위해서는 반응속도 k(T)\displaystyle k(T)와 수득률 P(T)\displaystyle P(T)의 곱이 최대가 되는 온도를 찾아야 한다. P(T)\displaystyle P(T)는 문제에서 주어져 있고 <제시문 1>에 의하여 반응속도는 N(T)e−EaRT\displaystyle N(T)e^{-\frac{E_a}{RT}}에 비례한다. 또한 [문제 1-2]에 의하여 N(T)\displaystyle N(T)는 T\displaystyle \sqrt T에 비례하므로 일정기간동안 암모니아의 생산량 함수는 다음과 같다.f(T)=P(T)k(T)=AT(−2T+16)e−Ea/RT\displaystyle f(T)=P(T)k(T)=A\sqrt T(-2T+16)e^{-E_a/RT}

그러므로 f(T)=P(T)k(T)=AT(−2T+16)e−100/T\displaystyle f(T)=P(T)k(T)=A\sqrt T(-2T+16)e^{-100/T}가 최대가 되는 T\displaystyle T를 찾는다.

2단계 : 미분

+3점 · ②

② 미분 f′(T)=AT−3/2(−3T2−192T+1600)e−100/T\displaystyle f^{\prime}(T)=AT^{-3/2}(-3T^2-192T+1600)e^{-100/T}이므로

극점을 구하기 위해서는

+2점 · ③

③ 3T2+192T−1600=0\displaystyle 3T^2+192T-1600=0이 되는 T\displaystyle T를 찾는다(T>0\displaystyle T>0). 근의 공식에 의하여T=−96±962+48003=−32±140163 (≈−32±118.393)\displaystyle T=\frac{-96\pm\sqrt{96^2+4800}}3=-32\pm\frac{\sqrt{14016}}3\ (\approx-32\pm\frac{118.39}3)를 얻는다.

+1점 · ④

④ T\displaystyle T는 절대온도이며 (T\displaystyle \sqrt T항을 고려하면 T>0\displaystyle T>0이어야 하고) h(T)=−3T2−192T+1600\displaystyle h(T)=-3T^2-192T+1600은 위로 볼록이므로 f′(T)=0\displaystyle f^{\prime}(T)=0의 근 중 큰 근인 −32+140163\displaystyle -32+\frac{\sqrt{14016}}3에서

+2점 · ⑤

⑤ f′(T)\displaystyle f^{\prime}(T)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 그 점에서 극대값이자 최대값을 갖는다.T0⋯−32+140163⋯f′(T)+0−f(T)증가최대감소\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}T&0&\cdots&-32+\frac{\sqrt{14016}}3&\cdots\\\hline f^{\prime}(T)&&+&0&-\\\hline f(T)&&\text{증가}&\text{최대}&\text{감소}\end{array}

Ea/R=100\displaystyle E_a/R=100만 틀린 경우 혹은 f(T)=T(−2T+16)e−100/T\displaystyle f(T)=\sqrt T(-2T+16)e^{-100/T}로 놓은 경우 등 모델링에서 아주 사소한 실수는 모델링 1점 감점, 이후 미분 계산 등은 각 단계에서 읽고 판단.

모델링 단계에서 설명없이 식만 쓴 경우 모델링 관련 1점 감점

근의 다른 표현 −192±1922+192006=−192±560646=−96±82193\displaystyle \frac{-192\pm\sqrt{192^2+19200}}6=\frac{-192\pm\sqrt{56064}}6=\frac{-96\pm8\sqrt{219}}3

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