자연계열 3번

(3-i) $\displaystyle \frac{a^p}p$라는 항을 만들기 위해서는 $\displaystyle x^{p-1}$을 적분하여야 한다. $\displaystyle p>1$인 경우 $\displaystyle f(x)=x^{p-1}$은 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 $\displaystyle [0,\infty)$로 가는 일대일대응이 된다. $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 바꾸는 과정, 즉, $\displaystyle y=x$에 관하여 대칭이동을 함으로써 역함수를 구할 수 있다. 주어진 함수의 역함수는 $\displaystyle x=y^{p-1}$, 즉, $\displaystyle y=x^{\frac1{p-1}}$ $\displaystyle (x\ge0)$가 된다.

<제시문 3-2>에 주어진 식 (1) $\displaystyle ab\le\int_0^af(x)dx+\int_0^bf^{-1}(y)dy$을 적용하고자 한다. $\displaystyle f(x)=x^{p-1}$, $\displaystyle f^{-1}(y)=y^{\frac1{p-1}}$라 두면, $\displaystyle \int_0^ax^{p-1}dx=\Biggl[\frac1px^p\Biggr]_{x=0}^a=\frac{a^p}p$가 되고,$\displaystyle \int_0^by^{\frac1{p-1}}dy=\Biggl[\frac{p-1}py^{\frac p{p-1}}\Biggr]_{y=0}^b=\frac{p-1}pb^{\frac p{p-1}}$가 성립한다. 문제에서 $\displaystyle q$는 $\displaystyle \frac1p+\frac1q=1$을 만족하므로, $\displaystyle q=\frac p{p-1}$이고 따라서, $\displaystyle \int_0^by^{\frac1{p-1}}dy=\frac{p-1}pb^{\frac p{p-1}}=\frac{b^q}q$가 성립한다.

그러므로, 이 경우 식 (1)의 우변은 $\displaystyle \frac{a^p}p+\frac{b^q}q$가 되고 따라서, $\displaystyle ab\le\frac{a^p}p+\frac{b^q}q$가 성립한다.

(3-ii) 직사각형의 넓이와 적분 영역의 넓이가 같아지려면 <그림 1>로부터 등식이 성립할 때, $\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle b$가 같아야 함을 알 수 있다. 즉, 식 (1)의 등호가 성립할 조건은 $\displaystyle b=f(a)$이다. 마찬가지로, [문제 3-i]에 주어진 부등식의 등호가 성립할 조건은 $\displaystyle b=a^{p-1}$, 즉 $\displaystyle b^q=a^p$이다.