자연계열 2번

[해설]

1. 문항 2는 문제 해결 형, 수리 계산 형 문제로 문제에서 주어진 규칙을 수리적으로 해석하고 그에 구체적인 답안을 제시해야 하는 수리 응용 형 문제들이 주로 이 유형에 속한다.첫 번째 질문은 제시문 (가)에서 설명한 상황을 이해하고 고등학교 교과과정 안에 극한의 개념을 이해한다면 손쉽게 답할 수 있는 내용이다.첫 번째 질문에 대한 풀이과정을 예시하면 다음과 같다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=x\ge0$라 하면 $\displaystyle a_{n+2}=a_n-a_{n+1}$로부터 $\displaystyle x=x-x$가 성립하여 $\displaystyle x=0$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=y>0$라 하면 $\displaystyle b_n=\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{c_n+c_{n-1}}{c_n}=1+\frac{c_{n-1}}{c_n}=1+\frac1{b_{n-1}}$로부터 $\displaystyle y=1+1/y$ 즉, $\displaystyle y^2-y-1=0$이 성립하여 $\displaystyle y=\frac{1+\sqrt5}2$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{1+\sqrt5}2$이다.

첫 번째 질문에서 평가의 기준은 수험생이 극한의 개념을 이해하는가 하는 것과 극한의 개념으로부터 $\displaystyle x=\lim_{n\to\infty}a_n$와 $\displaystyle y=\lim_{n\to\infty}b_n$에 대한 올바른 방정식을 얻을 수 있는가에 초점을 맞춘다.

2. 두 번째 질문에서는 제시문 (가)에서 설명한대로 $\displaystyle n$분 후에 용기 $\displaystyle A$에 들어있게 되는 리터 단위의 물의 양 $\displaystyle a_n$과 피보나치수열로 정의된 $\displaystyle c_n$사이에는 $\displaystyle n\ge2$일 때 등식 $\displaystyle a_n=(-1)^{n-1}(tc_{n-1}-c_{n-2})$이 성립함을 증명하는 문제를 제시하고 있다. 증명의 핵심은 고교 교과과정에서 다룬 바 있는 수학적 귀납법의 사용이다.두 번째 질문에 대한 풀이과정을 예시하면 다음과 같다.수학적 귀납법을 사용하여 증명한다. 먼저 $\displaystyle n=2$일 때 $\displaystyle a_2=-(t-1)=(-1)(tc_1-c_0)$가 성립하고 또한 $\displaystyle a_3=2t-1=(-1)^2(tc_2-c_1)$가 성립한다. 이제 $\displaystyle k\ge3$가 주어진 자연수이고 $\displaystyle n\le k$인 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=(-1)^{n-1}(tc_{n-1}-c_{n-2})$이 성립한다고 가정하자.이제 $\displaystyle n=k+1$일 때 위 등식이 성립함을 아래와 같이 보인다.(i) $\displaystyle k$가 짝수인 경우 : $\displaystyle a_{k+1}=a_{k-1}-a_k=tc_{k-2}-c_{k-3}+tc_{k-1}-c_{k-2}=tc_k-c_{k-1}$(ii) $\displaystyle k$가 홀수인 경우 : $\displaystyle a_{k+1}=a_{k-1}-a_k=-(tc_{k-2}-c_{k-3})-(tc_{k-1}-c_{k-2})=-(tc_k-c_{k-1})$따라서 $\displaystyle n=k+1$인 경우에도 (i), (ii)에 의하여 $\displaystyle a_n=(-1)^{n-1}(tc_{n-1}-c_{n-2})$이 성립하고 수학적 귀납법에 의하여 모든 $\displaystyle n\ge2$에 대하여 $\displaystyle a_n=(-1)^{n-1}(tc_{n-1}-c_{n-2})$임이 증명된다.

3. 세 번째 질문의 핵심은 1분 후에 용기 $\displaystyle A$에 들어있게 되는 물의 양을 구하는 것이다. 이에 앞서서 제시문 (가)에서 정의한 수열 $\displaystyle \{a_n\}$과 $\displaystyle \{c_n\}$에서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{c_{2n-1}}{c_{2n}}<a_1<\frac{c_{2n}}{c_{2n+1}}$가 성립함을 증명할 것을 요구하고 있다. 이 부등식의 증명은 앞서 두 번째 질문에서 제시한 등식 $\displaystyle a_n=(-1)^{n-1}(tc_{n-1}-c_{n-2})$으로부터 얻을 수 있다.세 번째 질문에 대한 풀이과정을 예시하면 다음과 같다.

앞서 (2)에 의하면 모든 $\displaystyle n\ge0$에 대하여 $\displaystyle a_n=(-1)^{n+1}(tc_{n+1}-c_n)$이고 조건에 의하면 모든 $\displaystyle n\ge0$에 대하여 $\displaystyle a_n>0$이므로, $\displaystyle n=2k$인 경우 $\displaystyle 0<a_{2k}=-(tc_{2k+1}-c_{2k})$로부터 $\displaystyle a_1=t<\frac{c_{2k}}{c_{2k+1}}$이 성립한다. 마찬가지로 $\displaystyle n=2k-1$인 경우 $\displaystyle 0<a_{2k-1}=tc_{2k}-c_{2k-1}$로부터 $\displaystyle a_1=t>\frac{c_{2k-1}}{c_{2k}}$을 얻는다. 따라서 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \frac{c_{2k-1}}{c_{2k}}<a_1<\frac{c_{2k}}{c_{2k+1}}$이다.Correction. 왼쪽의 $\displaystyle a_n$은 $\displaystyle a_{n+2}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 짝수·홀수 식의 $\displaystyle a_{2k}$, $\displaystyle a_{2k-1}$은 각각 $\displaystyle a_{2k+2}$, $\displaystyle a_{2k+1}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

한편 (1)에서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{1+\sqrt5}2$임을 보였으므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{c_{2n-1}}{c_{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{c_{2n}}{c_{2n+1}}=\frac2{1+\sqrt5}=\frac{-1+\sqrt5}2$이 성립한다.

따라서 $\displaystyle \frac{c_{2n-1}}{c_{2n}}<a_1<\frac{c_{2n}}{c_{2n+1}}$의 양변에 극한을 취하면 $\displaystyle a_1=t=\frac{-1+\sqrt5}2$을 얻는다.

4. 네 번째 질문에 대한 답은 제시문 (나)를 이해하는 것으로부터 출발한다. 즉 적당한 시점 이후 매분마다 용기 $\displaystyle A$에는 담겨 있던 물의 10%가 빠져나가는 동시에 용기 $\displaystyle B$에 담겨져 있던 물의 20%가 들어오는 것이 반복될 때 아주 오랜 시간이 지난 후 후에 용기 $\displaystyle A$에 담긴 물의 양이 수렴하는 값을 구하는 문제로서, 문제의 올바른 이해와 함께 수리적 개념 및 응용력과 더불어 문제해결능력까지 모두 갖추어야 올바로 답할 수 있는 질문이다.네 번째 질문에 대한 풀이과정을 예시하면 다음과 같다.(나)에서의 방법을 따른 경우 $\displaystyle k\ge0$에 대하여 $\displaystyle a_k$와 $\displaystyle b_k$를 새롭게 다음과 같이 정의한다.$\displaystyle a_k=m+k$분 후에 용기 $\displaystyle A$에 들어있게 되는 리터 단위의 물의 양$\displaystyle b_k=m+k$분 후에 용기 $\displaystyle B$에 들어있게 되는 리터 단위의 물의 양이라 놓으면 다음이 성립한다.$\displaystyle a_{k+1}=0.9a_k+0.2b_k$$\displaystyle b_{k+1}=0.1a_k+0.8b_k$위의 식에서 $\displaystyle b_k=5a_{k+1}-4.5a_k$을 얻고 이를 아래 식에 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle 5a_{k+2}-4.5a_{k+1}=0.1a_k+0.8(5a_{k+1}-4.5a_k)$이를 정리하면 $\displaystyle 5a_{k+2}-8.5a_{k+1}+3.5a_k=0$이 성립하고 따라서 $\displaystyle a_{k+2}-a_{k+1}=\frac7{10}(a_{k+1}-a_k)$가 성립하여 수열 $\displaystyle \{a_k\}$의 계차수열은 첫째항이 $\displaystyle a_1-a_0=\frac\beta5-\frac\alpha{10}$이고, 공비가 $\displaystyle \frac7{10}$인 등비수열이다.따라서 $\displaystyle a_k=a_0+\sum_{j=1}^k(a_1-a_0)\left(\frac7{10}\right)^{j-1}$을 얻고, 따라서 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_k=a_0+\frac{10}3(a_1-a_0)=\alpha+\frac23\beta-\frac13\alpha=\frac23(\alpha+\beta)$이다.즉 아주 오랜 시간이 지난 후에 용기 $\displaystyle A$에 담긴 물의 양이 수렴하는 값은 리터 $\displaystyle \frac23(\alpha+\beta)$이다.