자연계열 2번

【2-1】 $\displaystyle p=\frac nm,q=\frac ij$ ($\displaystyle i,j,m,n$은 자연수)라 놓고, 자연수 지수에서의 지수법칙을 사용하면 $\displaystyle a^pa^q=a^{n/m}a^{i/j}=\sqrt[m]{a^n}\sqrt[j]{a^i}=\sqrt[mj]{a^{nj}}\sqrt[jm]{a^{mi}}=\sqrt[mj]{a^{nj}a^{mi}}=\sqrt[mj]{a^{nj+mi}}$이고, 정의에 의하여 $\displaystyle \sqrt[mj]{a^{nj+mi}}=a^{(nj+mi)/mj}=a^{n/m+i/j}=a^{p+q}$이다. 따라서 $\displaystyle a^pa^q=a^{p+q}$가 성립한다.

【2-2】 먼저 $\displaystyle a_1=\sqrt2,a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$으로 정의된 수열이 단조증가하며 위로 유계임을 수학적 귀납법으로 보이자.$\displaystyle a_1=\sqrt2<2$이다. 이제 임의의 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a_k<2$라고 가정하자.이때 $\displaystyle a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}<\sqrt{2+2}=2$이므로 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n<2$이다. 따라서 위 수열은 위로 유계이다. 또한 $\displaystyle a_n<2$과 $\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$으로부터 $\displaystyle a_{n+1}^2=2+a_n>a_n+a_n=2a_n>a_n^2$이므로 위 수열은 단조증가이다.

위 수열은 단조증가이고 위로 유계이므로 제시문 [나]에 의하여 극한이 존재한다.$\displaystyle x=\lim_{n\to\infty}a_n$이라 놓으면 $\displaystyle x>0$이고, $\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$에서 $\displaystyle n\to\infty$의 극한을 취하면 $\displaystyle x=\sqrt{2+x}$ 즉 2차 방정식 $\displaystyle x^2-x-2=0$가 성립하고, $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x=2$를 얻는다.따라서 위 수열이 수렴하는 극한값은 2이다.

【2-3】 양의 실수 $\displaystyle x,y$의 무한소수 표기를 각각 $\displaystyle x=x_0.x_1x_2\cdots x_k\cdots$과 $\displaystyle y=y_0.y_1y_2\cdots y_k\cdots$라 하고, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 유리수 $\displaystyle p_n,q_n$를 $\displaystyle p_n=x_0.x_1x_2\cdots x_n$ 그리고 $\displaystyle q_n=y_0.y_1y_2\cdots y_n$라 정의하면 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle 2^x=\lim_{n\to\infty}2^{p_n}$, $\displaystyle 2^y=\lim_{n\to\infty}2^{q_n}$ 그리고 $\displaystyle 2^{x+y}=\lim_{n\to\infty}2^{p_n+q_n}$이다. 수렴하는 수열에서 극한의 성질과 유리수 지수에서의 지수법칙에 의하여 다음이 성립한다.$\displaystyle 2^x2^y=\lim_{n\to\infty}2^{p_n}\lim_{n\to\infty}2^{q_n}=\lim_{n\to\infty}2^{p_n}2^{q_n}=\lim_{n\to\infty}2^{p_n+q_n}=2^{x+y}$이제 $\displaystyle \log_2 3=x$ 그리고 $\displaystyle \log_2 5=y$라 놓으면 $\displaystyle 2^x=3,2^y=5$이고 $\displaystyle x,y$는 양의 실수이므로 $\displaystyle 15=3\times5=2^x2^y=2^{x+y}$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle \log_2 3+\log_2 5=x+y=\log_2 15$이다.