자연계열 2번

[가] $\displaystyle a>0$가 양의 실수이고 $\displaystyle n$이 자연수일 때 $\displaystyle a^{-n}=\frac1{a^n}$, $\displaystyle a^0=1$으로 정의함으로써 양의 실수의 거듭제곱을 정수로 확장시킬 수 있으며, $\displaystyle m$이 2이상의 자연수이고 $\displaystyle n$이 자연수일 때 $\displaystyle a^{n/m}=\sqrt[m]{a^n}$으로 정의하고 $\displaystyle r$이 양의 유리수일 때 $\displaystyle a^{-r}=\frac1{a^r}$로 정의함으로써 양의 실수 $\displaystyle a$의 거듭제곱을 유리수까지 확장시킬 수 있다. 이때 자연수 지수에서의 지수법칙은 유리수 지수에까지 성립함을 쉽게 보일 수 있다. 즉 $\displaystyle a>0$인 실수와 임의의 유리수 $\displaystyle p,q$에 대하여 $\displaystyle a^pa^q=a^{p+q}$ 그리고 $\displaystyle (a^p)^q=a^{pq}$가 성립한다.

[나] 양수의 거듭제곱은 임의의 실수 지수로 확장될 수 있다. 즉 $\displaystyle a>0$와 $\displaystyle x$가 임의의 실수일 때 $\displaystyle a^x$을 유리수 지수의 확장이면서 실수에서도 지수법칙이 성립하도록 정의할 수 있다. 실제로, 위로 유계인 단조증가 수열이 반드시 극한을 갖는다는 실수의 기본성질, 수학적으로 표현하자면 무한수열 $\displaystyle \{a_n\}$과 어떤 양수 $\displaystyle M$이 있어, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\le a_{n+1}$이고 $\displaystyle a_n<M$이면, 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 적당한 실수에 수렴하는 성질을 사용하여 $\displaystyle a^x$를 정의할 수 있다.

[다] 우선 $\displaystyle a>1,x>0$이라 가정하고, $\displaystyle x=x_0.x_1x_2\cdots x_k\cdots$을 $\displaystyle x$의 무한소수 표기라고 하자. 이때 $\displaystyle x_0,x_1,\cdots,x_k,\cdots$은 모두 음이 아닌 정수이다. $\displaystyle p_n$을 $\displaystyle x$를 소수 $\displaystyle n$번째 자리까지 표기한 유리수, 즉 $\displaystyle p_n=x_0.x_1x_2\cdots x_n$라 정의하면 수열 $\displaystyle \{p_n\}$은 $\displaystyle p_1\le p_2\le\cdots\le p_n\le\cdots$을 만족하면서 (즉, 단조증가하면서) 주어진 양의 실수 $\displaystyle x$로 수렴한다. 즉 수열 $\displaystyle \{a^{p_n}\}$은 단조증가이며 위로 유계이므로 극한이 존재한다. 이제 $\displaystyle a^x=\lim_{n\to\infty}a^{p_n}$으로 정의한다. 다음으로 $\displaystyle 0<a<1,x>0$인 경우는 $\displaystyle a=1/b$로 놓고, $\displaystyle b>1$임을 이용하여 위의 방법으로 정의된 $\displaystyle b^x$에 대하여 $\displaystyle a^x=1/b^x$라 정의한다. 끝으로 $\displaystyle x<0$인 경우 $\displaystyle a^x=1/a^{-x}$으로 정의한다.이렇게 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=a^x$는 실수 위에서 연속이다. 즉, 임의의 실수 $\displaystyle x_0$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}$가 성립한다.

[라] 함수 $\displaystyle f(x)=2^x$는 실수 전체에서 연속이며 $\displaystyle f(1)=2,f(2)=4$이다. 따라서 중간값의 정리에 의하여 $\displaystyle 2^w=3$을 만족하는 $\displaystyle w$가 개구간 $\displaystyle (1,2)$에 존재하며 또한 $\displaystyle f(x)=2^x$는 증가함수이므로 이러한 $\displaystyle w$는 유일하게 존재한다. 우리는 $\displaystyle 2^w=3$을 만족하는 유일한 $\displaystyle w$를 $\displaystyle \log_2 3$으로 나타낸다. 이와 마찬가지의 방법으로 $\displaystyle \log_2 5$와 $\displaystyle \log_2 15$도 정의된다.