자연계열 1번

문제 1. $\displaystyle n=2$일 때,$\displaystyle \frac{a^2+b^2}2-\left(\frac{a+b}2\right)^2=\frac{(a-b)^2}4>0$이다. $\displaystyle 2$이상의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \left(\frac{a+b}2\right)^n<\frac{a^n+b^n}2$이 성립한다고 가정하면$\displaystyle \begin{aligned}\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}2-\left(\frac{a+b}2\right)^{n+1}&=\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}2-\left(\frac{a+b}2\right)^n\left(\frac{a+b}2\right)\\&>\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}2-\left(\frac{a^n+b^n}2\right)\left(\frac{a+b}2\right)\\&=\frac{(a^n-b^n)(a-b)}4\end{aligned}$이다. 여기서 함수 $\displaystyle g(x)=x^n$이 양의 실수 전체의 집합에서 증가함수이므로 $\displaystyle a>b$이면 $\displaystyle a^n>b^n$이고 반대로 $\displaystyle a<b$이면 $\displaystyle a^n<b^n$이다. 따라서$\displaystyle \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}2-\left(\frac{a+b}2\right)^{n+1}>\frac{(a^n-b^n)(a-b)}4>0$이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 주어진 부등식이 $\displaystyle 2$이상의 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.

문제 2. $\displaystyle 0<t<1$인 실수 $\displaystyle t$를 고정시키고, 실수 전체의 집합에서 정의된 다음의 함수를 생각하자.$\displaystyle f(x)=(1-t)a^n+tx^n-\{(1-t)a+tx\}^n\quad(-\infty<x<\infty)$함수 $\displaystyle f(x)$는 다항함수이므로 미분가능하고$\displaystyle f^{\prime}(x)=ntx^{n-1}-nt\{(1-t)a+tx\}^{n-1}=nt\left[x^{n-1}-\{(1-t)a+tx\}^{n-1}\right]$이다. 한 편, $\displaystyle n$이 짝수이므로 $\displaystyle n-1$은 홀수이고 따라서 다항함수 $\displaystyle g(x)=x^{n-1}$은 실수 전체의 집합에서 증가함수이다. 그러므로 $\displaystyle x>a$이면 $\displaystyle x>(1-t)a+tx$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다. 제시문 [가]에 의하여 다항함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (a,\infty)$에서 증가하고 $\displaystyle b>a$이므로 $\displaystyle f(b)>f(a)=0$이 성립한다.

문제 3. 문제 [2]와 제시문 [나]로부터 사차함수 $\displaystyle f(x)=x^4$의 그래프가 아래로 볼록하다는 것을 알 수 있다. 그러나 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12x^2$이므로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$이다. 따라서 주어진 명제의 역은 성립하지 않는다.

문제 4. 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln x$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln x+1,\quad f^{\prime\prime}(x)=\frac1x$이므로 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이다. 따라서 제시문 [다]에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 양의 실수 전체의 집합에서 아래로 볼록하다. 그러므로 서로 다른 양의 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여$\displaystyle f\left(\frac{x+y}2\right)<\frac{f(x)+f(y)}2$즉,$\displaystyle \frac{x+y}2\ln\left(\frac{x+y}2\right)<\frac{x\ln x+y\ln y}2$가 성립한다. 이를 정리하면,$\displaystyle (x+y)\ln(x+y)<x\ln x+y\ln y+(x+y)\ln2$을 얻는다.