자연계열 1번

문제 1. 원은 $\displaystyle x^2+(y-c)^2=r^2$이므로 원과 포물선의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x^2+(x^2-c)^2=r^2$을 만족한다.이 식은 $\displaystyle X=x^2$에 대한 이차방정식으로 볼 수 있다. 이 이차 방정식 $\displaystyle X+(X-c)^2=r^2$ 즉, $\displaystyle X^2+(1-2c)X+c^2-r^2=0$의 근은 $\displaystyle X=\frac12\{2c-1\pm\sqrt{(1-2c)^2-4(c^2-r^2)}\}$. 방정식의 판별식이 음이면 아무 실수 해가 없다. 즉, 교점이 없다.$\displaystyle c>r>0$이므로 $\displaystyle (2c-1)^2>(1-2c)^2-4(c^2-r^2)$, 따라서 판별식이 양이고 $\displaystyle 2c-1>0$이면 $\displaystyle X$는 두 개의 양의 실근을 가지고 $\displaystyle x$는 4개의 실수 값을 가지며, 교점은 4개가 된다. 판별식이 양이고 $\displaystyle 2c-1<0$이면 $\displaystyle X$는 음의 실근만을 가지고 교점은 없다. 판별식이 $\displaystyle 0$일 때, $\displaystyle X=\frac12(2c-1)$. $\displaystyle 2c-1\le0$이면 교점은 두 개가 될 수 없다. 판별식이 $\displaystyle 0$일 때 $\displaystyle 2c-1>0$이면 $\displaystyle X$가 한 개의 양수이며 교점은 두 개다. 즉, 두 점에서만 만나는 경우는 판별식이 $\displaystyle 0$이고 $\displaystyle 2c-1>0$일 때이다. $\displaystyle (1-2c)^2-4(c^2-r^2)=0$. 이로부터 $\displaystyle c=r^2+\frac14$. $\displaystyle c>\frac12$이므로 $\displaystyle r$의 범위는 $\displaystyle r>\frac12$이다.

문제 2. $\displaystyle C_n$의 반지름을 $\displaystyle r_n$이라 하고, 원점에서 $\displaystyle C_n$의 중심까지의 거리를 $\displaystyle d_n$이라 하면, $\displaystyle d_n=r_n^2+\frac14$.$\displaystyle C_n$과 $\displaystyle C_{n+1}$이 내접하는 관계를 보면, $\displaystyle d_n+r_n+r_{n+1}=d_{n+1}$. 따라서 $\displaystyle r_n^2+\frac14+r_n+r_{n+1}=r_{n+1}^2+\frac14$, 즉 $\displaystyle r_n+r_{n+1}=(r_{n+1}-r_n)(r_{n+1}+r_n)$.Correction. 두 원의 관계를 나타낸 “내접”은 “외접”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 1=r_{n+1}-r_n$를 얻는다. 따라서, $\displaystyle n-1=r_n-r_1$이고$\displaystyle r_2+r_3+\cdots+r_n=(n-1)r_1+\frac{n(n-1)}2$.$\displaystyle 2r_1+2r_2+\cdots+2r_n\le100$되어야 하므로, $\displaystyle r_1+r_2+\cdots+r_n=nr_1+\frac{n(n-1)}2\le50$.$\displaystyle r_1$은 $\displaystyle \frac12$로 가까이 갈 수 있으므로 $\displaystyle \frac n2+\frac{n(n-1)}2<50$. 따라서 $\displaystyle n<10$. 최대수는 9개이다.

문제 3. 점 $\displaystyle (t,t^2)$에서 $\displaystyle y=x^2$곡선에 대한 접선의 기울기는 $\displaystyle 2t$이므로, 점 $\displaystyle (t,t^2)$를 지나고 접선에 수직인 직선의 식은 $\displaystyle y-t^2=-\frac1{2t}(x-t)$. 이 직선이 $\displaystyle y$축과 만나는 점은 $\displaystyle \left(0,\frac12+t^2\right)$이다. 이 점과 $\displaystyle (t,t^2)$사이의 거리는 $\displaystyle r(t)=\sqrt{\frac14+t^2}$이다. 제시문 [가]로부터 $\displaystyle (a=1,b=4t^2)$ $\displaystyle t>0$일때$\displaystyle 2\sqrt t\le\sqrt{1+4t^2}$가 성립한다. 또한 $\displaystyle 1+4t^2\le(1+2t)^2$이므로,$\displaystyle \frac43=\int_0^12\sqrt t\,dt\le\int_0^1\sqrt{1+4t^2}\,dt\le\int_0^1(1+2t)\,dt=2$.

문제 4. $\displaystyle (a,a^2)$에서의 접선은 $\displaystyle y=2ax-a^2$. $\displaystyle (b,b^2)$에서의 접선 $\displaystyle y=2bx-b^2$과의 교점은 $\displaystyle x=\frac{a+b}2$, $\displaystyle y=ab$이므로 제시문 [가]로부터 $\displaystyle x^2\ge y$를 만족한다. $\displaystyle a\ne b$이므로 $\displaystyle x^2>y$를 얻는다.역으로, $\displaystyle x^2>y$를 만족하는 임의의 $\displaystyle (x,y)$에 대해, 2차 방정식 $\displaystyle X^2-2xX+y=0$은 ($\displaystyle x^2>y$조건으로부터) 두 실수해 $\displaystyle a,b$를 가짐을 알 수 있다. 즉, $\displaystyle x=\frac{a+b}2$, $\displaystyle y=ab$를 만족하는 $\displaystyle a,b$가 존재한다. 따라서 $\displaystyle x^2>y$를 만족하는 임의의 $\displaystyle (x,y)$는 이렇게 얻은 $\displaystyle (a,a^2)$에서의 접선과 $\displaystyle (b,b^2)$에서의 접선의 교점이다.따라서, 서로 다른 두 접선의 교점이 이루는 점들의 집합은 $\displaystyle \{(x,y)\mid y<x^2\}$과 같다.