자연계열 1번

문제 1의 답안: 제시문 [다]와 [라]를 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}h\\&=\lim_{h\to0}\frac1h\ln\frac{x+h}x=\lim_{h\to0}\frac1x\ln\left(1+\frac hx\right)^{x/h}\end{aligned}$이다. 여기서, $\displaystyle t=\frac hx$라고 하면 $\displaystyle h\to0$일 때 $\displaystyle t\to0$이고, 로그함수 $\displaystyle f$가 양의 실수 전체의 집합에서 연속이므로, 제시문 [가]에 의하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{t\to0}\frac1x\ln(1+t)^{1/t}=\frac1x\ln e=\frac1x$이다.

문제 2의 답안: $\displaystyle g(x)=kx-1-\ln x$라고 하면,$\displaystyle g^{\prime}(x)=k-\frac1x=\frac{kx-1}x$이므로 $\displaystyle 0<x<\frac1k$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x>\frac1k$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle g$는 $\displaystyle x=\frac1k$에서 최솟값 $\displaystyle g\left(\frac1k\right)=\ln k$을 갖는다. 이 값이 $\displaystyle 0$보다 크거나 같을 때, 즉 $\displaystyle k\ge1$일 때, 모든 $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle g(x)\ge0$이 된다.

문제 3의 답안: 문제 2에 의해서 부등식$\displaystyle \ln t\le t-1$이 모든 $\displaystyle t>0$에 대하여 성립한다. 임의의 양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle t=x^\alpha$이라고 놓으면 $\displaystyle t>0$이므로$\displaystyle \ln x^\alpha\le x^\alpha-1$이 성립한다. 제시문 [다]의 결과를 이용하면$\displaystyle \alpha\ln x\le x^\alpha-1$이고, $\displaystyle \alpha>0$이므로$\displaystyle \ln x\le\frac{x^\alpha-1}\alpha$이다. 마찬가지로 $\displaystyle t=x^{-\alpha}$라고 놓으면 왼쪽의 부등식을 얻을 수 있다.

문제 4의 답안: 문제 3에 의해서 모든 $\displaystyle x\ge1$에 대하여,$\displaystyle 0\le\ln x\le2(\sqrt{x}-1)$이 성립한다. 따라서 모든 $\displaystyle x\ge1$에 대하여$\displaystyle 0\le\frac{\ln x}x\le2\left(\frac1{\sqrt{x}}-\frac1x\right)$이다. 또한, 제시문 [바]에 의하여$\displaystyle \lim_{x\to\infty}2\left(\frac1{\sqrt{x}}-\frac1x\right)=0$이므로 제시문 [마]에 의하여$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}x=0$을 얻는다.문제 3에 의해서 모든 $\displaystyle 0<x\le1$에 대하여,$\displaystyle \frac{4(\sqrt[4]x-1)}{\sqrt[4]x}\le\ln x\le0$이므로$\displaystyle 4\sqrt[4]x(\sqrt[4]x-1)\le\sqrt{x}\ln x\le0$이다. 또한,$\displaystyle \lim_{x\to0+}4\sqrt[4]x(\sqrt[4]x-1)=0$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0+}\sqrt{x}\ln x=0$을 얻는다.