자연계열 1번

[1-1]$\displaystyle x$축과 직선 $\displaystyle x=p$에 동시에 접하면서 1사분면에 존재하는 원의 중심은 $\displaystyle (x,|p-x|)$로 둘 수 있다. 이 중심이 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위에 있기 위해서는 $\displaystyle |p-x|^2=4px$를 만족해야 한다. 이 2차 방정식의 해는 $\displaystyle x=(3\pm2\sqrt2)p$이다. 따라서, 문제의 조건을 만족하는 원은 2개가 존재한다. $\displaystyle x=(3+2\sqrt2)p$인 경우, 중심의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle x-p=2(\sqrt2+1)p$이며, $\displaystyle x=(3-2\sqrt2)p$인 경우, 중심의 $\displaystyle y$ 좌표는$\displaystyle p-x=p-(3-2\sqrt2)p=2(\sqrt2-1)p$이다. 따라서 원의 중심의 좌표는 $\displaystyle ((3\pm2\sqrt2)p,2(\sqrt2\pm1)p)$이다.

[1-2]$\displaystyle \overline{AB}+\overline{AF}=$$\displaystyle (p-x_1)+\sqrt{y_1^2+(p-x_1)^2}=(p-x_1)+\sqrt{4px_1+(p-x_1)^2}=(p-x_1)+\sqrt{(p+x_1)^2}=2p$그리고, $\displaystyle \overline{AF}=p+x_1$이고, 원의 반경이 $\displaystyle p$이므로 점 A와 원까지 가장 가까운 거리는 $\displaystyle x_1$이다.

[1-3]점 $\displaystyle A(x_1,y_1)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle a$인 직선은 $\displaystyle y-y_1=a(x-x_1)$로 나타낼 수 있다.이 직선의 방정식에 $\displaystyle x=0$를 대입하면 $\displaystyle y=y_1-ax_1$이고, $\displaystyle y=0$를 대입하면 $\displaystyle x=-\frac{y_1}a+x_1=-\frac1a(y_1-ax_1)$이다. 그리고, 점 $\displaystyle A(x_1,y_1)$는 포물선 위의 점이므로 $\displaystyle y_1^2=4px_1$를 만족한다. 따라서, 넓이 $\displaystyle S=\frac12xy=\frac12\left(-\frac1a\right)(y_1-ax_1)^2=-\frac1{2a}\left(y_1-\frac a{4p}y_1^2\right)^2=-\frac{y_1^2}{2a}\left(1-\frac{y_1}{4p}a\right)^2$이다.$\displaystyle a$에 대한 넓이 $\displaystyle S$의 최소값은 다음과 같이 미분으로 구할 수 있다.$\displaystyle \therefore\frac{dS}{da}=-\frac{y_1^2}2\frac{\left(1-\frac{y_1}{4p}a\right)\left(-\frac{y_1}{4p}a-1\right)}{a^2}=0$. 그런데 $\displaystyle a<0$이므로, $\displaystyle a=-\frac{4p}{y_1}\left(=-\frac{y_1}{x_1}\right)$이고, 넓이의 최소값은 $\displaystyle S=\frac{y_1^3}{2p}=2x_1y_1$이다.

[1-4]$\displaystyle y^2=4px$를 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 $\displaystyle 2y\frac{dy}{dx}=4p$이다. 따라서 점 A에서 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{2p}{y_1}$이다. 그러므로, 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{y_1}{2p}$이며, 이 직선의 방정식은 $\displaystyle y-y_1=-\frac{y_1}{2p}(x-x_1)$이다. 따라서, 점 C의 좌표는 $\displaystyle (2p+x_1,0)$이다.그리고, 벡터를 성분으로 표시하면$\displaystyle \overrightarrow{AB}=(p,y_1)-(x_1,y_1)=(p-x_1,0)$$\displaystyle \overrightarrow{AC}=(2p+x_1,0)-(x_1,y_1)=(2p,-y_1)$$\displaystyle \overrightarrow{AF}=(p,0)-(x_1,y_1)=(p-x_1,-y_1)$이다.따라서,$\displaystyle \cos\theta_1=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{2p(p-x_1)}{(p-x_1)\sqrt{4p^2+y_1^2}}=\frac{2p}{\sqrt{4p^2+y_1^2}}$.$\displaystyle \cos\theta_2=\frac{\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{2p(p-x_1)+y_1^2}{\sqrt{(p-x_1)^2+y_1^2}\sqrt{4p^2+y_1^2}}=\frac{2p(p+x_1)}{\sqrt{(p+x_1)^2}\sqrt{4p^2+y_1^2}}=\frac{2p}{\sqrt{4p^2+y_1^2}}$.즉, $\displaystyle \theta_1=\theta_2$.