자연계열 1번

※ 다음 풀이는 축약된 모범답안으로서 풀이과정에서 반드시 포함되어야 함.

[1] $\displaystyle x(t)=\sin t$, $\displaystyle y(t)=\frac12\cos t$라고 두면 $\displaystyle x^2+4y^2=1$을 만족하고, 위치 벡터 $\displaystyle P$는 시각 $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때 이다. 그리고$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\cos t$, $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-\sin t$ 그리고 $\displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac12\sin t$ $\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=-\frac12\cos t$이므로속도는 $\displaystyle \left(\cos t,-\frac12\sin t\right)$, 가속도는 $\displaystyle \left(-\sin t,-\frac12\cos t\right)$이다. 그런데 $\displaystyle P$는 시각 $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때 이므로, 구하고자하는 속력과 가속도의 크기는 각각$\displaystyle \sqrt{\cos^2\frac\pi2+\frac14\sin^2\frac\pi2}=\frac12$, $\displaystyle \sqrt{\sin^2\frac\pi2+\frac14\cos^2\frac\pi2}=1$이다.

[2] 공통 접선이 존재하기 위해서는 교점이 존재하고 그 교점에서 접선의 기울기가 같아야 한다.먼저 교점이 존재하면, $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,y=\cos x$. 따라서, $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{\cos^2x}{b^2}=1$.$\displaystyle \cos^2x=t$로 치환하면, $\displaystyle x^2=a^2\left(1-\frac t{b^2}\right)$ (1)그리고, 타원에서 접선의 기울기를 구하기 위해 미분하면, $\displaystyle \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}y^{\prime}=0\;\therefore y^{\prime}=\frac{b^2}{a^2}\frac xy$.$\displaystyle y=\cos x$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle y^{\prime}=-\sin x$.두 접선의 기울기가 같으면,$\displaystyle \therefore-\frac{b^2}{a^2}\frac xy=-\sin x=-\frac{b^2}{a^2}\frac x{\cos x}$. 즉, $\displaystyle \sin x\cos x=\frac{b^2}{a^2}x$.양변 제곱하면, $\displaystyle x^2=\frac{a^4}{b^4}(1-\cos^2x)\cos^2x=\frac{a^4}{b^4}(1-t)t$ (2)(1), (2)에서$\displaystyle x^2=\frac{a^4}{b^4}(1-t)t=a^2\left(1-\frac t{b^2}\right)$. 즉, $\displaystyle a^2t^2-(a^2+b^2)t-b^4=0$Comment. 답안의 이차방정식에서 $\displaystyle -b^4$는 $\displaystyle +b^4$의 오기이다. 따라서 $\displaystyle a^2t^2-(a^2+b^2)t+b^4=0$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \therefore t=\frac{a^2+b^2\pm\sqrt{(a^2+b^2)^2+4a^2b^4}}{2a^2}$$\displaystyle 0\le t\le1$이므로,$\displaystyle \therefore t=\frac{a^2+b^2+\sqrt{(a^2+b^2)^2+4a^2b^4}}{2a^2}>\frac{a^2+b^2+\sqrt{(a^2+b^2)^2}}{2a^2}>\frac{2a^2+2b^2}{2a^2}>1$따라서, 서로 모순되므로 해가 존재하지 않는다. 즉, 공통 접선이 존재하지 않는다.Comment. $\displaystyle a^2=\frac{\pi(\pi+4)}{16}$, $\displaystyle b^2=\frac{\pi+4}{8}$로 두면 두 곡선은 $\displaystyle P=(\frac\pi4,\frac{\sqrt2}2)$에서 기울기가 $\displaystyle -\frac1{\sqrt2}$인 같은 접선을 갖는다. 따라서 주어진 명제는 성립하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[3] 시간의 누적 합에 관한 문제이므로, 시각 $\displaystyle t$에서 객차가 움직일 수 있는 서부와 동부 사이의 거리는 $\displaystyle 12-(5+7)t$이다. 동부와 서부에서 거리를 좁혀오므로 객차가 동부에서 서부로 갈 때의 상대속도는 $\displaystyle (20+7)\,\mathrm{km}=27\,\mathrm{km/h}$이고 객차가 서부에서 동부로 갈 때의 성대속도는 $\displaystyle (20+5)\,\mathrm{km}=25\,\mathrm{km/h}$이다. 그리고 $\displaystyle n$번째 시간의 이동거리는 $\displaystyle 12\,\mathrm{km}$ ($\displaystyle n=1$), $\displaystyle 12-12(t_1+t_2\cdots+t_{n-1})$ ($\displaystyle n>1$)이다. 자세히 살펴보면, $\displaystyle n$이 홀수일 때 $\displaystyle n$번째 시간의 이동거리는 $\displaystyle 27t_n$이고, $\displaystyle n$이 짝수일 때 $\displaystyle n$번째 시간의 이동거리는 $\displaystyle 25t_n$이다. 따라서다음의 식들을 얻는다:$\displaystyle \begin{gathered}12=27t_1\\12-12t_1=25t_2\\12-12(t_1+t_2)=27t_3\\\vdots\end{gathered}$즉,$\displaystyle \begin{gathered}12=27t_1\\15t_1=25t_2\\13t_2=27t_3\\15t_3=25t_4\\\vdots\end{gathered}$다시 말해$\displaystyle \begin{aligned}t_1&=\frac{12}{27}\\t_2&=\frac{12}{27}\times\frac{15}{25}\\t_3&=\frac{12}{27}\times\frac{13}{27}\times\frac{13}{27}\\t_4&=\frac{12}{27}\times\frac{15}{25}\times\frac{13}{27}\times\frac{15}{25}\\&\vdots\end{aligned}$Correction. $\displaystyle t_3$를 계산하는 식의 첫 번째 비율 $\displaystyle 13/27$은 $\displaystyle 15/25$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이제 $\displaystyle r=\frac{15}{25}\times\frac{13}{27}$이라고 두면,$\displaystyle t_{2n+2}=r^{n+1}\times\frac{12}{13}$$\displaystyle t_{2n+1}=r^n\times\frac{12}{27}$이 된다. 그리고 전체 이동 시간은$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{b\to\infty}(t_1+t_2+\cdots t_n)&=\sum_{n=0}^{\infty}t_{2n+1}+t_{2n+2}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n+1}\times\frac{12}{13}+\sum_{n=0}^{\infty}r^n\times\frac{12}{27}\\&=\frac{12/27(15/25+1)}{1-15/25\times13/27}\\&=1.\end{aligned}$

[4] 1.1.두 점 $\displaystyle A(1,8,3)$와 $\displaystyle B(4,5,0)$에 대하여, $\displaystyle \overline{PA}:\overline{PB}=2:1$인 점을 $\displaystyle P(x,y,z)$라고 하면,$\displaystyle \overline{PA}=\sqrt{(x-1)^2+(y-8)^2+(z-3)^2}$, $\displaystyle \overline{PB}=\sqrt{(x-4)^2+(y-5)^2+z^2}$이고, $\displaystyle \overline{PA}=2\overline{PB}$이므로,$\displaystyle \sqrt{(x-1)^2+(y-8)^2+(z-3)^2}=2\sqrt{(x-4)^2+(y-5)^2+z^2}$이다.양변을 제곱하여 정리하면,$\displaystyle (x-1)^2+(y-8)^2+(z-3)^2=4(x-4)^2+4(y-5)^2+4z^2$$\displaystyle 3x^2-30x+63+3y^2-24y+36+3z^2+6z-9=0$$\displaystyle (x-5)^2+(y-4)^2+(z+1)^2=12$따라서, 점 $\displaystyle P(x,y,z)$의 자취는 중심이 $\displaystyle (5,4,-1)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt3$인 구이다.점 $\displaystyle Q(5,8,3)$에서 구 $\displaystyle (x-5)^2+(y-4)^2+(z+1)^2=12$에 그어진 접선들에 의해 원뿔이 형성되고, 접점들의 자취는 원을 형성하게된다. 구의 중심을 $\displaystyle C(5,4,-1)$, 접점을 $\displaystyle T(x,y,z)$라 하면, 피타고라스의정리에 의해$\displaystyle \overline{QT}^2=\overline{QC}^2-12$ 즉, $\displaystyle \overline{QT}^2=4^2+4^2-12=20$,$\displaystyle 2\sqrt3\cdot\overline{QT}=r\cdot\overline{QC}$로부터 $\displaystyle r^2=15/2$를 얻고, 구의 중심에서 접점들에 의해 형성된 원 단면까지의 거리는 피타고라스정리에 의해 구할 수 있다. 즉, $\displaystyle d=\sqrt{12-\frac{15}2}=\frac3{\sqrt2}$. 따라서, 1.1.원뿔과 겹치는 부분을 제외한 구의 부피는$\displaystyle V=\pi\int_{-2\sqrt3}^{3/\sqrt2}y^2\,dx=\int_{-2\sqrt3}^{3/\sqrt2}\pi\left(\sqrt{12-x^2}\right)^2dx=\pi\left(12x-\frac13x^3\right)_{-2\sqrt3}^{3/\sqrt2}$$\displaystyle V=\pi\left\{12(3/\sqrt2+2\sqrt3)-\frac13\left(\frac{27}{2\sqrt2}+24\sqrt3\right)\right\}=\pi\left(\frac{63}4\sqrt2+16\sqrt3\right)$