수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

서강대 2020학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2020mo_2/jayeon_1

배점미공개
예상 소요 시간50분

문제

[가] 함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 x\displaystyle x의 값이 a\displaystyle a에 한없이 가까워질 때, f(x)\displaystyle f(x)의 값이 한없이 커지면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 기호로 lim⁡x→af(x)=∞\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty 또는 x→a\displaystyle x\to a일 때, f(x)→∞\displaystyle f(x)\to\infty와 같이 나타낸다. 또 함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 x\displaystyle x의 값이 한없이 커질 때, f(x)\displaystyle f(x)의 값이 일정한 값 α\displaystyle \alpha에 한없이 가까워지면 f(x)\displaystyle f(x)는 α\displaystyle \alpha에 수렴한다고 하고, 기호로 lim⁡x→∞f(x)=α\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha 또는 x→∞\displaystyle x\to\infty일 때, f(x)→α\displaystyle f(x)\to\alpha와 같이 나타낸다. 한편 함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 x→∞\displaystyle x\to\infty일 때, f(x)\displaystyle f(x)의 값이 양의 무한대로 발산하는 것을 기호로 lim⁡x→∞f(x)=∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty와 같이 나타낸다.

[나] 최대·최소의 정리에 의하면 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 이 성질로부터 다음과 같은 평균값 정리가 성립한다.“함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능하면 f(b)−f(a)b−a=f′(c)\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)인 c\displaystyle c가 a\displaystyle a와 b\displaystyle b 사이에 적어도 하나 존재한다.”평균값 정리를 사용하면 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 증가한다는 것을 보일 수 있다.

[다] 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(i) n=1\displaystyle n=1일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(ii) n=k\displaystyle n=k일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.또한 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 n≥m\displaystyle n\ge m (m\displaystyle m은 자연수)인 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(i) n=m\displaystyle n=m일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(ii) n=k\displaystyle n=k일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

[라] 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 위 제시문 [다]의 (i), (ii)와 같은 단계에 따라 증명하는 방법을 수학적 귀납법이라고 한다. 제시문 [다]의 논리와 마찬가지로 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 p(n)\displaystyle p(n)에 대해서 다음 두 가지를 보이면 명제 p(n)\displaystyle p(n)은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립한다.(i) n=1\displaystyle n=1과 n=2\displaystyle n=2일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(ii) n=k\displaystyle n=k와 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+2\displaystyle n=k+2일 때도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

[1] 제시문 [나]의 평균값 정리를 사용하여 0<a<b\displaystyle 0<a<b일 때 부등식 b−a<b−a2a\displaystyle \sqrt b-\sqrt a<\frac{b-a}{2\sqrt a}이 성립함을 보이시오.

[2] 제시문 [가]와 [나]를 참조하여 미분가능 함수 f:(0,∞)→(0,∞)\displaystyle f:(0,\infty)\to(0,\infty)가 모든 x>0\displaystyle x>0에 대하여 f′(x)≥f(x)\displaystyle f^{\prime}(x)\ge f(x)을 만족할 때 lim⁡x→∞f(x)=∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty임을 보이시오.

[3] 유리수 전체의 집합을 Q\displaystyle Q라 하자. Q\displaystyle Q에서 정의된 함수 f\displaystyle f가 모든 x,y∈Q\displaystyle x,y\in Q에 대하여 등식 f(x+y)−f(x−y)=2f(y)\displaystyle f(x+y)-f(x-y)=2f(y)를 만족할 때, 제시문 [다]와 [라]를 참조하여 r\displaystyle r이 임의로 주어진 양의 유리수일 때 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 f(nr)=f(r)n\displaystyle f(nr)=f(r)n임을 보이시오.

[4] 문항 [3]의 결과를 이용하여 함수 f\displaystyle f는 모든 유리수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)=f(1)x\displaystyle f(x)=f(1)x를 만족함을 보이시오.

해설강의 준비중

서강대 2020학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2020mo_2/jayeon_1

※ 다음 풀이는 축약된 모범답안으로서 풀이과정에서 반드시 포함되어야 함.

[1]. f(x)=x\displaystyle f(x)=\sqrt x에 평균값 정리를 적용하면 적당한 c∈(a,b)\displaystyle c\in(a,b)가 존재하여 b−ab−a=12c<12a\displaystyle \frac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}=\frac1{2\sqrt c}<\frac1{2\sqrt a}이다. 따라서 b−a<b−a2a\displaystyle \sqrt b-\sqrt a<\frac{b-a}{2\sqrt a}가 성립한다.

[2]. 임의의 a>1\displaystyle a>1에 대하여 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 [1,a]\displaystyle [1,a]에서 미분가능 하므로 평균값정리에 의하여 f(a)−f(1)a−1=f′(t)\displaystyle \frac{f(a)-f(1)}{a-1}=f^{\prime}(t)를 만족하는 어떤 t\displaystyle t가 1\displaystyle 1과 a\displaystyle a사이에 존재한다.모든 x>0\displaystyle x>0에 대하여 f′(x)≥f(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)\ge f(x)>0이므로 f(x)\displaystyle f(x)는 x>0\displaystyle x>0에서 증가함수이다.조건에 의해서 f′(t)≥f(t)>f(1)\displaystyle f^{\prime}(t)\ge f(t)>f(1)가 성립한다.그러므로f(a)−f(1)=f′(t)(a−1)>f(1)(a−1)=f(1)a−f(1)\displaystyle f(a)-f(1)=f^{\prime}(t)(a-1)>f(1)(a-1)=f(1)a-f(1)따라서 임의의 a>1\displaystyle a>1에 대하여 f(a)>f(1)a\displaystyle f(a)>f(1)a가 성립한다.f(1)>0\displaystyle f(1)>0이므로 양변에 극한을 취하면lim⁡a→∞f(a)≥lim⁡a→∞f(1)a=∞\displaystyle \lim_{a\to\infty}f(a)\ge\lim_{a\to\infty}f(1)a=\infty를 얻는다.

[3]. f∈A\displaystyle f\in A라 할 때 등식 f(x+y)−f(x−y)=2f(y)\displaystyle f(x+y)-f(x-y)=2f(y)에 y=0\displaystyle y=0을 대입하면 f(x)−f(x)=2f(0)\displaystyle f(x)-f(x)=2f(0) 즉 f(0)=0\displaystyle f(0)=0을 얻는다. 양의 유리수 r\displaystyle r이 주어졌을 때 등식에 x=y=r\displaystyle x=y=r를 대입하면 f(2r)=2f(r)\displaystyle f(2r)=2f(r)을 얻는다. 이제 함수 f\displaystyle f가 주어진 자연수 k\displaystyle k에 대하여 f(kr)=f(r)k\displaystyle f(kr)=f(r)k 그리고 f((k+1)r)=f(r)(k+1)\displaystyle f((k+1)r)=f(r)(k+1)을 만족한다고 가정하자. 이제 등식 f(x+y)−f(x−y)=2f(y)\displaystyle f(x+y)-f(x-y)=2f(y)에 x=(k+1)r\displaystyle x=(k+1)r과 y=r\displaystyle y=r를 대입하면, 가정으로부터 f((k+2)r)=2f(r)+f(kr)=(k+2)f(r)\displaystyle f((k+2)r)=2f(r)+f(kr)=(k+2)f(r)을 만족한다. 따라서 제시문 [라]에 의해서 함수 f\displaystyle f는 임의로 주어진 양의 유리수 r\displaystyle r과 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 f(nr)=nf(r)\displaystyle f(nr)=nf(r)를 만족한다.

[4]. 먼저 문항 [3]에 의하여 임의로 주어진 양의 유리수 nm\displaystyle \frac nm에 대하여 f(nm)=nf(1m)\displaystyle f\left(\frac nm\right)=nf\left(\frac1m\right)를 만족하고,f(1)=f(m×1m)=mf(1m)\displaystyle f(1)=f\left(m\times\frac1m\right)=mf\left(\frac1m\right)을 만족하므로 f(nm)=nf(1m)=nmf(1)\displaystyle f\left(\frac nm\right)=nf\left(\frac1m\right)=\frac nmf(1)이 성립한다.따라서 모든 양의 유리수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)=f(1)x\displaystyle f(x)=f(1)x이 성립한다.이제 f(x+y)−f(x−y)=2f(y)\displaystyle f(x+y)-f(x-y)=2f(y)에 y=−x\displaystyle y=-x를 대입하면 모든 양의 유리수 x\displaystyle x에 대하여 f(−2x)=−2f(x)=−2xf(1)\displaystyle f(-2x)=-2f(x)=-2xf(1)를 얻는다. 따라서 음의 유리수에 대해서도 f(x)=f(1)x\displaystyle f(x)=f(1)x이 성립한다.

정확한 논리를 사용하여 결과를 도출해야 하고 계산 및 증명 과정이 잘 나타나 있어야 함.

풀이를 서술하는 과정에서 인과관계를 정확하게 표현할 수 있는 능력을 살피는 것도 중요하므로 정확한 수리적 문장을 사용하지 않으면 요소요소마다 감점 처리함.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.