자연계열 1번

※ 다음 풀이는 축약된 모범답안으로서 풀이과정에서 반드시 포함되어야 함.

[1]. $\displaystyle f(x)=\sqrt x$에 평균값 정리를 적용하면 적당한 $\displaystyle c\in(a,b)$가 존재하여 $\displaystyle \frac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}=\frac1{2\sqrt c}<\frac1{2\sqrt a}$이다. 따라서 $\displaystyle \sqrt b-\sqrt a<\frac{b-a}{2\sqrt a}$가 성립한다.

[2]. 임의의 $\displaystyle a>1$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [1,a]$에서 미분가능 하므로 평균값정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f(a)-f(1)}{a-1}=f^{\prime}(t)$를 만족하는 어떤 $\displaystyle t$가 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle a$사이에 존재한다.모든 $\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge f(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x>0$에서 증가함수이다.조건에 의해서 $\displaystyle f^{\prime}(t)\ge f(t)>f(1)$가 성립한다.그러므로$\displaystyle f(a)-f(1)=f^{\prime}(t)(a-1)>f(1)(a-1)=f(1)a-f(1)$따라서 임의의 $\displaystyle a>1$에 대하여 $\displaystyle f(a)>f(1)a$가 성립한다.$\displaystyle f(1)>0$이므로 양변에 극한을 취하면$\displaystyle \lim_{a\to\infty}f(a)\ge\lim_{a\to\infty}f(1)a=\infty$를 얻는다.

[3]. $\displaystyle f\in A$라 할 때 등식 $\displaystyle f(x+y)-f(x-y)=2f(y)$에 $\displaystyle y=0$을 대입하면 $\displaystyle f(x)-f(x)=2f(0)$ 즉 $\displaystyle f(0)=0$을 얻는다. 양의 유리수 $\displaystyle r$이 주어졌을 때 등식에 $\displaystyle x=y=r$를 대입하면 $\displaystyle f(2r)=2f(r)$을 얻는다. 이제 함수 $\displaystyle f$가 주어진 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(kr)=f(r)k$ 그리고 $\displaystyle f((k+1)r)=f(r)(k+1)$을 만족한다고 가정하자. 이제 등식 $\displaystyle f(x+y)-f(x-y)=2f(y)$에 $\displaystyle x=(k+1)r$과 $\displaystyle y=r$를 대입하면, 가정으로부터 $\displaystyle f((k+2)r)=2f(r)+f(kr)=(k+2)f(r)$을 만족한다. 따라서 제시문 [라]에 의해서 함수 $\displaystyle f$는 임의로 주어진 양의 유리수 $\displaystyle r$과 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(nr)=nf(r)$를 만족한다.

[4]. 먼저 문항 [3]에 의하여 임의로 주어진 양의 유리수 $\displaystyle \frac nm$에 대하여 $\displaystyle f\left(\frac nm\right)=nf\left(\frac1m\right)$를 만족하고,$\displaystyle f(1)=f\left(m\times\frac1m\right)=mf\left(\frac1m\right)$을 만족하므로 $\displaystyle f\left(\frac nm\right)=nf\left(\frac1m\right)=\frac nmf(1)$이 성립한다.따라서 모든 양의 유리수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(1)x$이 성립한다.이제 $\displaystyle f(x+y)-f(x-y)=2f(y)$에 $\displaystyle y=-x$를 대입하면 모든 양의 유리수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(-2x)=-2f(x)=-2xf(1)$를 얻는다. 따라서 음의 유리수에 대해서도 $\displaystyle f(x)=f(1)x$이 성립한다.