자연계열 1번

서강대 2021학년도 모의 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2021mo_1/jayeon_1

1. $\displaystyle a$ 가 양의 실수일 때 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $\displaystyle (1+a)^{n+1}\ge\frac{n^2}2a^2$ 또한, 이 부등식을 이용하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}=0$ 을 보이시오.

2. $\displaystyle r\ne1$ 일 때 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오. $\displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=\frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2}$ 또한, 이 등식을 이용하여 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac n{2^n}$ 의 합을 구하시오.

3. $\displaystyle 0<r<1$ 일 때 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{r^k}k=-\ln(1-r)-\int_0^r\frac{t^{n+1}}{1-t}\,dt$

4. 문제 3의 결과를 이용하여 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}$ 의 합을 구하시오.

[가] 실수 $\displaystyle a,b$ 와 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음 등식이 성립한다. $\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}a^{n-k}b^k$

[나] 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le a_n\le b_n$ 이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0$ 이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$ 이다.

[다] $\displaystyle r\ne1$ 일 때 실수 $\displaystyle a$ 와 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ 이다. 또한, $\displaystyle |r|<1$ 이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=0$ 이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac a{1-r}$ 이다.

[라] 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 에 대하여 다음 등식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$ (단, $\displaystyle k$ 는 상수) $\displaystyle \int_a^b\{f(x)+g(x)\}\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$ $\displaystyle \int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx$

[마] 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 모든 $\displaystyle x\in[a,b]$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)\le g(x)$ 라고 하자. 이 때 $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$ 라고 하면 모든 $\displaystyle x\in[a,b]$ 에 대하여 $\displaystyle h(x)\ge0$ 이므로 정적분 $\displaystyle \int_a^b h(x)\,dx$ 은 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a,x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 나타낸다. 제시문 [라]에 의하여 $\displaystyle \int_a^b g(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b h(x)\,dx\ge0$ 이고 따라서 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx$ 이다.

해설강의 준비중

서강대 2021학년도 모의 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2021mo_1/jayeon_1

+2점 · 문제 1: 부등식 증명

1. 제시문 [가]를 이용하면, $\displaystyle (1+a)^{n+1}=1+(n+1)a+\frac{(n+1)n}2a^2+\cdots+a^{n+1}>\frac{n^2}2a^2$ 이다. 따라서

+1점 · 문제 1: 극한식 증명

$\displaystyle 0<\frac n{2^n}=\frac{2n}{(1+1)^{n+1}}<\frac{4n}{n^2}=\frac4n\to0$ 이므로 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}=0$ 이다.

+1점 · 문제 2: 등식 증명

2. 제시문 [다]와 [라]의 결과를 이용하면, $\displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=\frac d{dr}\left(\sum_{k=1}^n r^k\right)=\frac d{dr}\left(\frac{r-r^{n+1}}{1-r}\right)=\frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2}$

+1점 · 문제 2: 급수의 합

이다. 여기서 $\displaystyle r=\frac12$ 일 때, 제시문 [다]와 문제 1의 결과를 이용하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}=0$ 이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac n{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac12\sum_{k=1}^n\frac k{2^{k-1}}=2$ 이다.

+3점 · 문제 3: 등식 증명

3. 제시문 [다]와 [라]의 결과를 이용하면, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{r^k}k=\int_0^r\left(\sum_{k=1}^{n+1}t^{k-1}\right)dt=\int_0^r\left(\frac1{1-t}-\frac{t^{n+1}}{1-t}\right)dt=-\ln(1-r)-\int_0^r\frac{t^{n+1}}{1-t}\,dt$ 이다.

+2점 · 문제 4: 극한식 증명

4. 제시문 [마]에 의하여 $\displaystyle 0\le\int_0^{\frac12}\frac{t^{n+1}}{1-t}\,dt\le\int_0^{\frac12}\frac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-t}\,dt=\left(\frac12\right)^{n+1}\int_0^{\frac12}\frac1{1-t}\,dt=\left(\frac12\right)^{n+1}\ln2\to0$ 이므로 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac12}\frac{t^{n+1}}{1-t}\,dt=0$ 이다. 문제 3의 결과를 이용하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}=\ln2$ 이다.

문제 1의 풀이에서 이항정리 대신에 수학적 귀납법을 이용하는 것도 가능하다.

문제 2의 풀이에서 등비급수의 부분합의 공식을 유도하는 방법을 일반화하는 것 등의 다른 풀이도 가능하다.

문제 4의 풀이에서 제시문을 이용하여 정적분으로 정의된 수열이 0으로 수렴하는 것을 정확히 설명하지 않으면 감점한다.

계산 실수로 급수의 합 등을 잘못 계산한 경우 0.5점 감점한다.

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