자연계열 1번

1. 제시문 [가]를 이용하면,$\displaystyle (1+a)^{n+1}=1+(n+1)a+\frac{(n+1)n}2a^2+\cdots+a^{n+1}>\frac{n^2}2a^2$이다. 따라서

$\displaystyle 0<\frac n{2^n}=\frac{2n}{(1+1)^{n+1}}<\frac{4n}{n^2}=\frac4n\to0$이므로 제시문 [나]에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}=0$이다.

2. 제시문 [다]와 [라]의 결과를 이용하면,$\displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=\frac d{dr}\left(\sum_{k=1}^n r^k\right)=\frac d{dr}\left(\frac{r-r^{n+1}}{1-r}\right)=\frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2}$

이다. 여기서 $\displaystyle r=\frac12$일 때, 제시문 [다]와 문제 1의 결과를 이용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}=0$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac n{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac12\sum_{k=1}^n\frac k{2^{k-1}}=2$이다.

3. 제시문 [다]와 [라]의 결과를 이용하면,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{r^k}k=\int_0^r\left(\sum_{k=1}^{n+1}t^{k-1}\right)dt=\int_0^r\left(\frac1{1-t}-\frac{t^{n+1}}{1-t}\right)dt=-\ln(1-r)-\int_0^r\frac{t^{n+1}}{1-t}\,dt$이다.

4. 제시문 [마]에 의하여$\displaystyle 0\le\int_0^{\frac12}\frac{t^{n+1}}{1-t}\,dt\le\int_0^{\frac12}\frac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-t}\,dt=\left(\frac12\right)^{n+1}\int_0^{\frac12}\frac1{1-t}\,dt=\left(\frac12\right)^{n+1}\ln2\to0$이므로 제시문 [나]에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac12}\frac{t^{n+1}}{1-t}\,dt=0$이다. 문제 3의 결과를 이용하면$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}=\ln2$이다.