자연계열 1번

1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac hn}+4\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac{2h}n}+9\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac{3h}n}+\cdots+n^2\left(\frac hn\right)^3e^{-h}\right\}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{kh}n\right)^2e^{-\frac{kh}n}\left(\frac hn\right)$로 쓸 수 있다. 여기에서 $\displaystyle \Delta x=h/n$, $\displaystyle x_k=k\frac hn$이라고 두면, 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n x_k^2e^{-x_k}\Delta x=\int_0^h x^2e^{-x}dx$로 나타낼 수 있다. 따라서, $\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}$.

2. 제시문 [가]를 참고하고 부분적분법을 이용해서$\displaystyle V(x)=\int_0^x f(z)dz=\int_0^x z^2e^{-z}dz=\Biggl[z^2(-e^{-z})\Biggr]_0^x-\int_0^x2z(-e^{-z})dz=-x^2e^{-x}+2\int_0^x ze^{-z}dz$로 쓸 수 있다. 여기에서 $\displaystyle \int_0^x ze^{-z}dz=\Biggl[z(-e^{-z})\Biggr]_0^x-\int_0^x(-e^{-z})dz=-xe^{-x}-e^{-x}+1$ 이므로,$\displaystyle V(x)=-e^{-x}(x^2+2x+2)+2$을 구할 수 있다.

3. 제시문 [나]와 [다]를 이용하면 $\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}=f(x)\frac{dx}{dt}$이다. 여기에서 $\displaystyle \frac{dV}{dt}=-2x$와 $\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}$이므로 수면의 하강 속력은 $\displaystyle \left|\frac{dx}{dt}\right|=\frac{2e^x}x$이다.

4. 수면의 하강 속력의 도함수는 $\displaystyle \frac d{dx}\left(\left|\frac{dx}{dt}\right|\right)=\frac{2e^x(x-1)}{x^2}$이다. 이를 이용하여 아래 그림과 같은 수면 높이에 따른 수면의 하강 속력의 개형을 찾을 수 있다. $\displaystyle x=1$일 때, $\displaystyle \frac d{dx}\left(\left|\frac{dx}{dt}\right|\right)=0$이 되어, 하강 속력은 최솟값 $\displaystyle 2e$를 갖는다.