수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

서강대 2021학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2021mo_2/jayeon_1

배점10점
예상 소요 시간50분

문제

높이가 H(H>2)\displaystyle H(H>2)인 항아리에 물이 가득 채워져 있다. 이 항아리 바닥에 갑자기 작은 구멍이 생겨 물이 새기 시작한다. 항아리 바닥으로부터 수면까지의 높이가 x(x>0)\displaystyle x(x>0)일 때, 수면의 넓이는 f(x)\displaystyle f(x)이고, 구멍을 통해 빠져나가는 물의 부피는 시간 당 2x\displaystyle 2x이다. 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 구간 [0,H]\displaystyle [0,H]에서 연속이고 모든 h∈(0,H]\displaystyle h\in(0,H]에 대하여 다음 식을 만족한다.∫0hf(x) dx=lim⁡n→∞{(hn)3e−hn+4(hn)3e−2hn+9(hn)3e−3hn+⋯+n2(hn)3e−h}\displaystyle \int_0^h f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac hn}+4\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac{2h}n}+9\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac{3h}n}+\cdots+n^2\left(\frac hn\right)^3e^{-h}\right\}함수 f(x)\displaystyle f(x)를 구하시오.

2. 수면의 높이가 x\displaystyle x일 때, 항아리에 채워진 물의 부피를 나타내는 함수 V(x)\displaystyle V(x)를 구하시오.

3. 수면의 높이가 x\displaystyle x일 때, 수면의 하강 속력을 구하시오.

4. 수면의 하강 속력이 가장 작을 때, 수면의 높이와 하강 속력을 구하시오.

[가] 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]의 임의의 점 x\displaystyle x에서 x\displaystyle x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 S(x)\displaystyle S(x)인 입체도형의 부피 V\displaystyle V는 다음과 같다.V=∫abS(x) dx\displaystyle V=\int_a^b S(x)\,dx

[나] 미분가능한 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.dydx=dydududx\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

[다] 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 실수 a\displaystyle a를 포함하는 구간에서 연속이면 이 구간에 속하는 임의의 x\displaystyle x에 대하여 다음이 성립한다.ddx∫axf(t) dt=f(x)\displaystyle \frac d{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)

해설강의 준비중

서강대 2021학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2021mo_2/jayeon_1

+2점 · 문제 1: f(x)\displaystyle f(x)를 구하면

1. lim⁡n→∞{(hn)3e−hn+4(hn)3e−2hn+9(hn)3e−3hn+⋯+n2(hn)3e−h}=lim⁡n→∞∑k=1n(khn)2e−khn(hn)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac hn}+4\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac{2h}n}+9\left(\frac hn\right)^3e^{-\frac{3h}n}+\cdots+n^2\left(\frac hn\right)^3e^{-h}\right\}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{kh}n\right)^2e^{-\frac{kh}n}\left(\frac hn\right)로 쓸 수 있다. 여기에서 Δx=h/n\displaystyle \Delta x=h/n, xk=khn\displaystyle x_k=k\frac hn이라고 두면, 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 lim⁡n→∞∑k=1nxk2e−xkΔx=∫0hx2e−xdx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n x_k^2e^{-x_k}\Delta x=\int_0^h x^2e^{-x}dx로 나타낼 수 있다. 따라서, f(x)=x2e−x\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}.

+2점 · 문제 2: 정적분 계산

2. 제시문 [가]를 참고하고 부분적분법을 이용해서V(x)=∫0xf(z)dz=∫0xz2e−zdz=[z2(−e−z)]0x−∫0x2z(−e−z)dz=−x2e−x+2∫0xze−zdz\displaystyle V(x)=\int_0^x f(z)dz=\int_0^x z^2e^{-z}dz=\Biggl[z^2(-e^{-z})\Biggr]_0^x-\int_0^x2z(-e^{-z})dz=-x^2e^{-x}+2\int_0^x ze^{-z}dz로 쓸 수 있다. 여기에서 ∫0xze−zdz=[z(−e−z)]0x−∫0x(−e−z)dz=−xe−x−e−x+1\displaystyle \int_0^x ze^{-z}dz=\Biggl[z(-e^{-z})\Biggr]_0^x-\int_0^x(-e^{-z})dz=-xe^{-x}-e^{-x}+1 이므로,V(x)=−e−x(x2+2x+2)+2\displaystyle V(x)=-e^{-x}(x^2+2x+2)+2을 구할 수 있다.

+4점 · 문제 3: 수면의 하강 속력 (부호 실수 -1점)

3. 제시문 [나]와 [다]를 이용하면 dVdt=dVdxdxdt=f(x)dxdt\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}=f(x)\frac{dx}{dt}이다. 여기에서 dVdt=−2x\displaystyle \frac{dV}{dt}=-2x와 f(x)=x2e−x\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}이므로 수면의 하강 속력은 ∣dxdt∣=2exx\displaystyle \left|\frac{dx}{dt}\right|=\frac{2e^x}x이다.

+2점 · 문제 4: 최솟값 (부호 실수 -1점)

4. 수면의 하강 속력의 도함수는 ddx(∣dxdt∣)=2ex(x−1)x2\displaystyle \frac d{dx}\left(\left|\frac{dx}{dt}\right|\right)=\frac{2e^x(x-1)}{x^2}이다. 이를 이용하여 아래 그림과 같은 수면 높이에 따른 수면의 하강 속력의 개형을 찾을 수 있다. x=1\displaystyle x=1일 때, ddx(∣dxdt∣)=0\displaystyle \frac d{dx}\left(\left|\frac{dx}{dt}\right|\right)=0이 되어, 하강 속력은 최솟값 2e\displaystyle 2e를 갖는다.

수면 높이 x에 따른 하강 속력. x=1에서 최솟값을 갖는다.

문제 2에서 합성함수의 미분법 대신 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하는 것도 가능하다.Correction. 합성함수의 미분법을 사용하는 “문제 2”는 “문제 3”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

문제 3와 4에서 계산 오류에 대해 부분점수는 없으나, 부호의 실수에 한해 1점씩 감점한다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.