자연계열 1번

1. $\displaystyle \mathrm{P}_{k-1}$과 $\displaystyle \mathrm{P}_k$ 사이의 최단 경로는 그림과 같이 원뿔의 옆면을 펼쳐서 생기는 부채꼴에서, 부채꼴을 이루는 서로 다른 반지름 위에 있는 $\displaystyle \mathrm{P}_{k-1}$과 $\displaystyle \mathrm{P}_k$를 선분으로 연결한 것이다. 이때, 부채꼴의 반지름의 길이는 원뿔의 모선의 길이와 같으므로 3이고, 호의 길이가 밑면의 원주인 $\displaystyle 2\pi$와 같으므로 중심각은 $\displaystyle \frac{2\pi}3$이다. $\displaystyle \triangle\mathrm{OP}_{k-1}\mathrm{P}_k$에서 코사인법칙을 이용하면,

$\displaystyle \begin{aligned}L_k^2&=\left\{3-\frac2n(k-1)\right\}^2+\left(3-\frac2nk\right)^2-2\left\{3-\frac2n(k-1)\right\}\left(3-\frac2nk\right)\cos\left(\frac{2\pi}3\right)\\&=\frac{12}{n^2}k^2-\left(\frac{36}n+\frac{12}{n^2}\right)k+27+\frac{18}n+\frac4{n^2}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle L_k=\sqrt{\frac{12}{n^2}k^2-\left(\frac{36}n+\frac{12}{n^2}\right)k+27+\frac{18}n+\frac4{n^2}}$이다.

2. $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{L_k^2}n=\frac{12}{n^3}\times\frac{n(n+1)(2n+1)}6-\left(\frac{36}{n^2}+\frac{12}{n^3}\right)\frac{n(n+1)}2+27+\frac{18}n+\frac4{n^2}$이므로

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{L_k^2}n=4-18+27=13$이다.

3. 부채꼴의 호 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{R}$에 대하여 두 선분 $\displaystyle \mathrm{OR}$과 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_1$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라고 하자. 밑면으로부터의 높이는 $\displaystyle \frac{2\sqrt2}3\overline{\mathrm{QR}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$이 최대일 때, 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}$가 최소일 때, 높이가 최대가 된다. 따라서, 높이가 최대가 되게 하는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_n$은 $\displaystyle \mathrm{O}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_0\mathrm{P}_1$에 내린 수선의 발이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}_n}=b_n$이라고 놓자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_0\mathrm{P}_1$의 넓이로부터 $\displaystyle \frac12L_1b_n=\frac12\times3\left(3-\frac2n\right)\times\sin\frac{2\pi}3$를 얻게 되어$\displaystyle b_n=\frac{3\sqrt3}{2L_1}\left(3-\frac2n\right)=\frac{3\sqrt3}2\left(3-\frac2n\right)\frac n{\sqrt{27n^2-18n+4}}$이다. 따라서,$\displaystyle h_n=\frac{2\sqrt2}3(3-b_n)=\frac{2\sqrt2}3\left\{3-\frac{3\sqrt3}2\left(3-\frac2n\right)\frac n{\sqrt{27n^2-18n+4}}\right\}$

이고 $\displaystyle \lim_{h\to\infty}h_n=\frac{2\sqrt2}3\left(3-\frac{3\sqrt3}2\times\frac3{\sqrt{27}}\right)=\sqrt2$이다.Correction. 극한 기호 아래의 $\displaystyle h\to\infty$는 $\displaystyle n\to\infty$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

4. $\displaystyle n$이 커지면, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}$가 길어지므로 $\displaystyle \angle\mathrm{OP}_0\mathrm{P}_1$이 커진다. 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle n$등분했을 때 $\displaystyle \mathrm{P}_1$을 $\displaystyle \mathrm{P}_1^{(n)}$으로 나타내면, $\displaystyle b_n=3\sin(\angle\mathrm{OP}_0\mathrm{P}_1^{(n)})$이다. $\displaystyle n\ge2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle 0<\angle\mathrm{OP}_0\mathrm{P}_1^{(n)}<\frac\pi6$이고 사인함수는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi6\right)$에서 증가한다. 따라서, $\displaystyle b_n<b_{n+1}$이다. 또한, $\displaystyle b_2=\frac{3\sqrt3}{\sqrt{19}}>1$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac32$이므로, $\displaystyle n\ge2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle b_n\in\left(1,\frac32\right)$이다.

한편, $\displaystyle a_n=\frac89b_n(3-b_n)^2$이므로, $\displaystyle f(x)=x(3-x)^2$이라고 하면 $\displaystyle a_n=\frac89f(b_n)$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x-1)(x-3)$이므로, 구간 $\displaystyle \left(1,\frac32\right)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$가 되어 $\displaystyle f$는 감소한다.따라서, $\displaystyle a_n>a_{n+1}$이다.