자연계열 1번

【1-1】 접선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$, $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하고, 원의 중심을 $\displaystyle \mathrm{C}$라 하자. 그러면 구하는 원의 반지름은 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}$가 된다. 제시문 [가]에 의해 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle \left(\frac a2,0\right)$이고 $\displaystyle \tan\theta=2a$가 된다.

원과 접선의 기본 성질로부터 $\displaystyle \triangle\mathrm{QPC}$는 직각삼각형이고 $\displaystyle \angle\mathrm{PQC}=\frac\theta2$임을 알 수 있다. 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle 2a=\tan\theta=\frac{2\tan\frac\theta2}{1-\tan^2\frac\theta2}$이므로 $\displaystyle a\tan^2\frac\theta2+\tan\frac\theta2-a=0$이 된다.$\displaystyle 0<\frac\theta2<\frac\pi4$이므로 $\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac{-1+\sqrt{1+4a^2}}{2a}$이다.

따라서 $\displaystyle \tan\frac\theta2=\frac{\overline{\mathrm{PC}}}{\overline{\mathrm{PQ}}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac a2\sqrt{1+4a^2}$이므로, 원의 반지름은 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}=\frac{1+4a^2-\sqrt{1+4a^2}}4$이다.

【1-2】 접선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$, $\displaystyle y$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$라 하고, 원의 중심을 $\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}$라 하자. 그러면 구하는 원의 반지름은 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}^{\prime}}$가 된다. 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$는 $\displaystyle (0,-a^2)$이고 $\displaystyle \tan\alpha=\tan\left(\frac\pi2-\theta\right)=\frac1{2a}$가 된다.

원과 접선의 기본 성질로부터 $\displaystyle \triangle\mathrm{Q}^{\prime}\mathrm{PC}^{\prime}$는 직각삼각형이고 $\displaystyle \angle\mathrm{PQ}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}=\frac\alpha2$임을 알 수 있다.제시문 [나]에 의해 $\displaystyle \frac1{2a}=\tan\alpha=\frac{2\tan\frac\alpha2}{1-\tan^2\frac\alpha2}$이므로 $\displaystyle \tan^2\frac\alpha2+4a\tan\frac\alpha2-1=0$가 된다.$\displaystyle 0<\frac\alpha2<\frac\pi4$이므로 $\displaystyle \tan\frac\alpha2=-2a+\sqrt{1+4a^2}$이다.

따라서 $\displaystyle \tan\frac\alpha2=\frac{\overline{\mathrm{PC}^{\prime}}}{\overline{\mathrm{PQ}^{\prime}}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}^{\prime}}=a\sqrt{1+4a^2}$이므로, 원의 반지름은 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}^{\prime}}=a(1+4a^2)-2a^2\sqrt{1+4a^2}$이다.

【1-3】 $\displaystyle f(x)=\frac{4x\left[x(1+4x^2)-2x^2\sqrt{1+4x^2}\right]}{1+4x^2-\sqrt{1+4x^2}}=\frac{4x^2(\sqrt{1+4x^2}-2x)}{\sqrt{1+4x^2}-1}$이므로 분자, 분모에 $\displaystyle (\sqrt{1+4x^2}+2x)(\sqrt{1+4x^2}+1)$를 각각 곱하면,$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{1+4x^2}+1}{\sqrt{1+4x^2}+2x}=\frac{\sqrt{\frac1{x^2}+4}+\frac1x}{\sqrt{\frac1{x^2}+4}+2}\quad(x>0)$이다. 따라서 제시문 [다]에 의해$\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=2$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac12$이다.

【1-4】 $\displaystyle \sqrt{1+4x^2}+1=t\ (x>0)$라 두면 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{t^2-2t}}2\ (t>2)$이다. $\displaystyle F(t)=f\left(\frac{\sqrt{t^2-2t}}2\right)$라 두면,$\displaystyle F(t)=f\left(\frac{\sqrt{t^2-2t}}2\right)=\frac t{t-1+\sqrt{t^2-2t}}=\frac1{1-\frac1t+\sqrt{1-\frac2t}}\quad(t>2)$가 된다. 제시문 [라]에 의해, $\displaystyle t$에 관한 함수 $\displaystyle 1-\frac1t$와 $\displaystyle 1-\frac2t$는 $\displaystyle t>2$인 구간에서 증가하고, 함수 $\displaystyle F(t)$는 이 구간에서 감소한다. $\displaystyle x$에 관한 함수 $\displaystyle \sqrt{1+4x^2}+1$는 $\displaystyle x>0$인 구간에서 증가하므로, 함수 $\displaystyle f(x)=F(\sqrt{1+4x^2}+1)$는 정의역인 $\displaystyle x>0$인 구간에서 감소한다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 감소하므로, 임의의 $\displaystyle x_0>0$에 대하여 $\displaystyle 2=\lim_{x\to0^+}f(x)>f(x_0)>\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac12$가 되어 함수 $\displaystyle f(x)$의 치역은 열린구간 $\displaystyle \left(\frac12,2\right)$의 부분집합이 된다. 극한의 정의로부터 $\displaystyle \frac12<k<2$인 임의의 값 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \frac12<f(b)<k<f(a)<2$가 되는 $\displaystyle 0<a<b$가 존재함을 알 수 있다. 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{1+4x^2}+1}{\sqrt{1+4x^2}+2x}$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이므로 제시문 [마]의 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle f(c)=k$가 되는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$사이에 존재한다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)$의 치역은 열린구간 $\displaystyle \left(\frac12,2\right)$가 된다.